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[原创]数学原本很美

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发表于 2013-9-13 10:46 | 显示全部楼层 |阅读模式
[watermark]我在这里看到许多过于复杂的解题过程,感慨良多。数学本是一门艺术,数学定理和数学题本该是这门艺术的精美艺术品。但似乎许多网友尽管基本功扎实,却没有将解数学题作为一种艺术工作,却更象是为了解决问题在做实用器。就连如  luyuanhong老师这样的人也没有例外。鄙人不才,愿将自已的工刻细活,稍稍介绍一些,因为时间关系,今天先发一贴。
  台湾出题人YAG出的题目 设 a=cos(2π/7)+isin(2π/7) ,求 ∑a^(2k)/(1-a^k) 它的本质是分圆多项式的根与系数关系,正解应该如下。

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发表于 2013-9-13 11:21 | 显示全部楼层

[原创]数学原本很美

谢谢楼上 ccmmjj 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。
 楼主| 发表于 2013-9-13 15:44 | 显示全部楼层

[原创]数学原本很美

相同的解法在“ 设 ω=cos(2π/9)+isin(2π/9),证明 (1-ω)(1-ω^2)…(1-ω^8)=9”这个贴子中仍可以体现。函数f(x)=x^8+x^7+x^6+……+x+1=(x-ω)(x-ω^2)…(x-ω^8),令x=1即得f(1)=1+1+……+1=9。
发表于 2013-9-13 15:53 | 显示全部楼层

[原创]数学原本很美

下面引用由ccmmjj2013/09/13 10:46am 发表的内容:
(水印部分不能引用)
A^n+B^n=D^n=(C/2-x)^2+(C/2+x)^2?
恕我不懂你的艺术。
你也许是个艺术家,但不是个数学家。
 楼主| 发表于 2013-9-13 16:05 | 显示全部楼层

[原创]数学原本很美

在“求 [cot(π/12)]^2003+[tan(π/12)]^2003 除以 9 的余数”这个贴子中,可以引入数列a(n),满足a(n+2)=4a(n+1)-a(n)(*),a(0)=2,a(1)=4。引入对数列a(n)求9余数的函数f(n),按程式(*)进行迭代得2,4,5,7,5,4,2,4……,上式从f(0)计算到f(7)就出出现了6-循环。这说明了形如a(n)=(2+√3)^n+(2-√3)^n的数列它对9的余数只有2,4,5,7这四种,至于2003=6k+5,即f(2003)=f(5)=4是简单的结果。
 楼主| 发表于 2013-9-13 16:06 | 显示全部楼层

[原创]数学原本很美

下面引用由技术员2013/09/13 03:53pm 发表的内容: A^n+B^n=D^n=(C/2-x)^2+(C/2+x)^2?
恕我不懂你的艺术。
你也许是个艺术家,但不是个数学家。
那只是笔误。
发表于 2013-9-13 16:11 | 显示全部楼层

[原创]数学原本很美

在这里,我最佩服的就是陆教授。人家是踏踏实实做题,严谨详实,这本身就是一种艺术,人家谦虚谨慎,让人不得不服,人家做了很多题,没有一点自鸣得意,而你才做了多少题?就可以在这里指手画脚了?数学首先要的是严谨,然后再来谈技巧。没有严谨的数学就是到处漏风的墙,再好看也没有用。
发表于 2013-9-13 16:12 | 显示全部楼层

[原创]数学原本很美

下面引用由ccmmjj2013/09/13 04:06pm 发表的内容:
那只是笔误。
还有问题,请看原帖。
发表于 2013-9-13 17:27 | 显示全部楼层

[原创]数学原本很美

T(n)=(a+√b)^n+(a-√b)^n
T(n+2)=2aT(n+1)+(b-a²)T(n)
2^(k-1)[4+3(kC2)]
k=3n,2^(3n+1)rem9=[2(-1)^n]rem9=2,7
k=3n+1,2^(3n+2)rem9=[4(-1)^n]rem9=4,5
k=3n+2,2^(k-1)[4+3(kC2)]rem9=[5(-1)^n]rem9=5,4
发表于 2013-9-13 18:34 | 显示全部楼层

[原创]数学原本很美

下面引用由ccmmjj2013/09/13 10:46am 发表的内容:
(水印部分不能引用)
什么易知ak=a^k?应该是设ak=a^k吧?楼主应该注意语言的描述,这是数学的基本功。
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