[原创]数学原本很美

ccmmjj

[watermark]我在这里看到许多过于复杂的解题过程，感慨良多。数学本是一门艺术，数学定理和数学题本该是这门艺术的精美艺术品。但似乎许多网友尽管基本功扎实，却没有将解数学题作为一种艺术工作，却更象是为了解决问题在做实用器。就连如  luyuanhong老师这样的人也没有例外。鄙人不才，愿将自已的工刻细活，稍稍介绍一些，因为时间关系，今天先发一贴。
  台湾出题人YAG出的题目 设 a=cos(2π/7)+isin(2π/7) ，求 ∑a^(2k)/(1-a^k) 它的本质是分圆多项式的根与系数关系，正解应该如下。

luyuanhong

谢谢楼上 ccmmjj 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

ccmmjj

相同的解法在“ 设 ω=cos(2π/9)+isin(2π/9)，证明 (1-ω)(1-ω^2)…(1-ω^8)=9”这个贴子中仍可以体现。函数f(x)=x^8+x^7+x^6+……+x+1=(x-ω)(x-ω^2)…(x-ω^8),令x=1即得f(1)=1+1+……+1=9。

技术员

下面引用由ccmmjj在 2013/09/13 10:46am 发表的内容：
(水印部分不能引用)

A^n+B^n=D^n=（C/2-x）^2+（C/2+x）^2?
恕我不懂你的艺术。
你也许是个艺术家，但不是个数学家。

ccmmjj

在“求 [cot(π/12)]^2003+[tan(π/12)]^2003 除以 9 的余数”这个贴子中，可以引入数列a(n),满足a(n+2)=4a(n+1)-a(n)(*),a(0)=2,a(1)=4。引入对数列a(n)求9余数的函数f(n)，按程式(*)进行迭代得2，4，5，7，5，4，2，4……，上式从f(0)计算到f(7)就出出现了6-循环。这说明了形如a(n)=(2+√3)^n+(2-√3)^n的数列它对9的余数只有2，4，5，7这四种，至于2003=6k+5，即f(2003)=f(5)=4是简单的结果。

ccmmjj

下面引用由技术员在 2013/09/13 03:53pm 发表的内容： A^n+B^n=D^n=（C/2-x）^2+（C/2+x）^2?
恕我不懂你的艺术。
你也许是个艺术家，但不是个数学家。

那只是笔误。

技术员

在这里，我最佩服的就是陆教授。人家是踏踏实实做题，严谨详实，这本身就是一种艺术，人家谦虚谨慎，让人不得不服，人家做了很多题，没有一点自鸣得意，而你才做了多少题？就可以在这里指手画脚了？数学首先要的是严谨，然后再来谈技巧。没有严谨的数学就是到处漏风的墙，再好看也没有用。

技术员

下面引用由ccmmjj在 2013/09/13 04:06pm 发表的内容：
那只是笔误。

还有问题，请看原帖。

fungarwai

T(n)=(a+√b)^n+(a-√b)^n
T(n+2)=2aT(n+1)+(b-a²)T(n)
2^(k-1)[4+3(kC2)]
k=3n,2^(3n+1)rem9=[2(-1)^n]rem9=2,7
k=3n+1,2^(3n+2)rem9=[4(-1)^n]rem9=4,5
k=3n+2,2^(k-1)[4+3(kC2)]rem9=[5(-1)^n]rem9=5,4

技术员

下面引用由ccmmjj在 2013/09/13 10:46am 发表的内容：
(水印部分不能引用)

什么易知ak=a^k？应该是设ak=a^k吧？楼主应该注意语言的描述，这是数学的基本功。