为什么1/3=0.333⋯

195912

                                                                    为什么1/3=0.333…
      这是一个不复杂的问题，可有学者不惜花费数十年的精力，以专题的形式，专著的形式，专帖的形式，不厌其烦的讨论这个问题。且大有不达目的，势不甘休，子子孙孙辩论下去之势。我不知道这算不算"愚公精神".作者试图为这位学者释疑解惑。
       我们知道，
        A   一切无限小数统称为实数，其中循环小数（包括有限小数）称为有理数，不循环的小数称为无理数。
        B  一切形如 n/m 的数称为有理数(其中 m 是正整数,n 是整数),不能化成 n/m 形式的数称为无理数,有理数加上无理数就构成了全体实数.
        这里 A 与 B 是完全一致的.也就是说
             A=B
         这样,命题
             若 a∈A,则 存在 b∈B,且 a=b
恒真.
         也就是说,分数 1/3 一定能唯一的表述成无限循环小数 0.333….
        这是把
                  1/3=0.333…
编入小学教科书的理论根据.
       根据数学分析,我们有
                    (1+x)^m=1+mx+m(m-1)/2! x^2+…+[m(m-1)(m-2)&#8943;(m-n+1)]/n! x^n+…  -1<x<1    (1)
令m=-1,x=-1/10,我们有
                （1-1/10）^-1=1+1/10+1/100+…                                                                                     (2)
(2)×3/10,得
                  1/3=0.333…
          这是从数学分析的角度,对
                  1/3=0.333…
的论证.
          我们再来看单位长度 1 为什么能够分成完全相等的三个部分.
          例. 作高为AD,AD=1的等边三角形ABC,设三角形ABC的重心为点O,则OD=1/3.
          证: 作BE ⊥ AC交AC于点E, CF⊥AB交AB于点F,显然 AD,BE,CF交于点O,根据重心的性质有
                   AO=2OD
           ∴     OD=(1/3)AD
又
                  AD=1
           ∴     OD=1/3
         这样我们便清晰地明白了
                  1/3=0.333…
的几何意义.对现实实践活动亦具指导意义.
        
         

wangyangke

二百五拓展，，，

jzkyllcjl

我不是人教社的。我是被上级调出做了32年数学教师工作数学教师。不满意Б.В.《概率论教程》中“至于这集合（基本空间U）的元素究竟是什么东西，这对于概率论的逻辑发展而言是可以不加分辨的”的论述，也不满意复旦大学编《统计数学》中“U中的某些子集（其全体记作F）作为事件……，至于究竟需要哪些子集，则需视具体情况而定”的论述；那时笔者希望能够从基本事件发生的概率算出各种事件的概率。为此,笔者查看了И.П.那汤松著《实变函数论》中的点集合理论与测度理论，又发现了“不可测有界集存在”的定理，这个定理就是只研究某些子集发生概率的原因,但也说明:现行数学理论是不完善的。后来又在马忠林译[苏]Д.И.别列标尔金著《初等几何教程》上卷看到“位于直线上任何两点之间，有无限多个另外的点，这些点的集合，叫做线段”的论述。对于这个论述，笔者当时提出了“点有没有大小的问题？（即当点没有大小时，点的集合不可能构成线段；若点有大小，这种点的大小是什么数呢？）”的问题。为了这些问题，在参看从自然数集合扩充到有理数、实数集合的过程之后，笔者曾经感到：需要提出“把实数集合扩充到包括一种‘大于0而又小于一切正实数的实无穷小数’的超实数域”的想法“。此后的十多年中，笔者到过许多院校与数学研究所,都得不到满意的解决。直到1975年,才有人对笔者说：“你的想法可能对，外国《非标准分析》提出了这种数”，“你的研究属于非标准分析的研究”；但经过十多年对《非标准分析》的学习研究之后，笔者发现：虽然非标准分析中的无穷大数与无穷小数与我扩充实数的想法有共同的地方，但他们没有解决笔者提出的那三个问题。经过对非标准分析依据的模型论、ZFC公理集合论以及有关的数理逻辑引论、数学基础引论、实数理轮、几何基础、量子力学、唯物辩证法的反复学习之后，笔者放弃了扩充实数的想法，并反对《非标准分析》 。反对它的原因是：第一，它的实无穷小数的存在与“正实数集合中存在着任意接近于0的实数”的性质矛盾。第二，如果使用这种无穷小数，还需要研究这种无穷小数对应的时刻上的瞬时速度是什么呢？对应的点的大小有多大?对应点的事件发生概率是多少?的问题，所以提出超实数域之后，问题更多了,更复杂了；第三,它提出的非标准算术模型*N，与自然数集合N的原来的阿基米德性质、无上界性质矛盾。所以，经过二十四年的反复研究之后，笔者写了《足够准分析初步》的小册子，在青岛的学术会议上得到陈庆益教授“你把数学量子化了”的意见，1986 年发表了论文“实数理论的问题与足够准分析简介”，得到河海大学任荣祖教授“不囿于已有的见解，自成体系，不仅在理论上，而且在应用上都有价值”的好评。
量子力学中提出了测不准原理，概率论中回避连续型随机变量的基本事件与不可测集合的发生概率的研究。在徐利治著《论数学方法学》中“自然数列二重性与双相无限性及其对数学发展的影响”论文中说到：布劳维尔反例中那个实数Q属于大于0、小于0、等于0的三类中哪一类的问题“看来还是一个不易解决的难题”，哥德尔不完全定理说明：建立具有完备而又无矛盾的数学形式公理体系的想法是无法实现的；形式公理性数学体系不能取消，但它的缺点需要知道，需要说明。笔者对这些问题进行了56年的研究之后，认为：数学理论存在着下述四个确定性：①数学的本质是研究现实数量（包括形）大小及其关系表示方法的科学及其工具；②实践是数学理论的基础与验证标准，数学理论需要在继续的实践研究中不断改进；③实践与理想、精确与近似、现实与理想、无穷与有穷之间存在着相互依存的对立统一关系，“一切事物中包含着的矛盾方面的相互依赖和相互斗争，决定一切事物的生命，推动一切事物的发展。没有什么事物是不包含矛盾的，没有矛盾就没有世界”（参看毛泽东《矛盾论》）。④在对数学理论的形式逻辑推导过程中必须进行联系实践的辩证逻辑分析。本文在这四个观点下，对数学理论中的基本概念进行一些必要的改革。首先需要知道：现有形式逻辑规律中没有谈到无穷公理，为此需要加上“无穷是无有穷尽、无有终了、无有最后、无有完结”的规律，或称基本公理。其次，还须指出：无穷的存在性依赖于有穷，任何一个无穷性事物的存在都需要有一个无限延续的法则，还需要有无限延续的操作的无限延续的时间；因此，在任何有限时间内，这个无限延续的工作是无法完成的；任何无穷性事物只能是一种极限性质的、趋向性质的人们无法达到的理想性事物，；无穷性事物缺乏完成了的实践性质，真正完成了的只能是有穷性事物。关于无穷性事物的这种意义、认识与使用方法，就是《简明哲学辞典》所说的“概念应当是可更改的，可修改的，灵活的，变动的，否则它就不能正确地反映现实”的辩证逻辑方法。

jzkyllcjl

由于无尽小数都具有永远写不到底的性质，由于完成了的实无穷观点造成了三次数学危机，造成了芝诺悖论、罗素悖论‘实数的三分律反例，造成了数学理论与其应用的矛盾，我不得不改写实数理论 。 &#8943;

elim

以jzkyllcjl 的天生蠢质，他不得不做的事情，就是书泡汤后使劲表现其愚蠢，好让其书永世不得翻身。

APB先生

一除以三等于什么？

jzkyllcjl

没有最后的0.333…… 就不是定数，而是永远小于1/3的无穷数列。

APB先生

APB先生 发表于 2018-4-12 15:08
一除以三等于什么？

标准和非标准分析中就没有胡扯吗？有的 ！！

1/3 是除不尽的，恒有余数的；1/3=0.333…… 的错误在于丢失了余数。一个定数等于二个无限小数之和，是合情合理的，没有误差的；而让一个定数等于一个无限小数，就是指鹿为马，违背事实；我不否认 0.333……  的极限是 1/3 ，因有 0.333…… → 1/3 ；但是反过来，说 1/3 的极限是 0.333…… ，说 1/3=0.333……，就是胡扯和笑话：因为没有 1/3 → 0.333……；因为定数 1/3 的极限就是其自身。

韩永平

我在上初中时，我的老师是这样帮助我们分析这道题的。
设x=0.33333333333……
将上式的两边同时乘以10，就得:10x=3.33333333……
将新式子得两边同时减去x=0.3333333333……就有
9x=3
所以3x=1
x=1/3
证毕
不知道对不对，请大家评论。

elim

APB先生 发表于 2018-4-12 01:53
标准和非标准分析中就没有胡扯吗？有的 ！！

1/3 是除不尽的，恒有余数的；1/3=0.333…… 的错误在 ...

零的无限循环有底，还叫无限循环？ 0 的无限循环没有底，后面哪有1的位置？

APB 懂过极限？ 我怎么看不出来啊？