人才占4%，答对概率0.9，一般人答对概率0.5，要使k题全对者中的人才超过90%，k要多大?

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

Ysu2008

题 1
[分析]
题1相当于二项分布总体比率的假设检验求最小样本量。
设被试者需要连续答对 k 道题，从而在 0.1 显著性水平下拒绝其答对概率 ≤ 0.9  的零假设。

[思路]
可以把这个假设检验用区间估计的方法来作。
计算总体比率置信系数为 90% 的置信区间，并使得区间下限刚好大于 0.9，让 0.9 刚好落在拒绝域，此时对应的 k 即为所求。

[计算]
设显著性水平为 alpha ，试验次数为 N，“成功”次数为 k , 总体比率为 P
二项分布在 k = N 时，P 的（1-alpha）单侧置信区间下限为 alpha^(1/k)
令 0.1^(1/k) = 0.9
解得 k = log(0.1)/log(0.9) ≈ 21.85
向上取整即得 k = 22

被试者需要连续答对 22 题，检定委员会才有 90% 的把握认定其“答对概率”大于 90% .

题 2
题2就是区间估计。
根据极端情况下的单侧置信区间下限的计算公式可得 p = 0.1^(1/5) ≈ 0.631

若被试者只答 5 题，全部答对，则检定委员会有 90% 的把握认定其“答对概率”大于 63.1% .

题 3
若容许答错，则达到相同鉴定标准所需要的总题数会更多。

但我们发现：
如果有 22 题，答对 21 题，对于零假设 p ≤ 0.9 ,检验的P值(右尾概率) = P(k > 21) = 0.9^22 ≈ 0.0985 < 0.1 ，
这就是说，此时检定委员会仍然有 90% 的把握认定被试者“答对概率”大于 90% .

这与我们在题目1给出的答案相矛盾，为什么呢？
这是因为我们在题目1所采用的区间估计方法是基于频率学派的，如果采用更为精确的贝叶斯区间估计，则题目1的精确答案是 21 道题而不是 22 道题。

Ysu2008

上面的计算都是基于单侧检验作出，若是双侧检验，则结果又有不同。

题目1在双侧检验下，由频率学派理论需要 29 道题，由贝叶斯理论则需要 28 道题；
题目2的双侧区间估计，90%置信系数，频率学派为(54.93% ， 100%) ，贝叶斯学派为(60.7% , 99.15%)；

所以这题答案不唯一。