A,B 为相异四位数，lgA 的尾数是 lgB 的 3 倍，求 A 的最大值 m 和此时 B 的最大值 n

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

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题  A,B 为相异的四位正整数，lgA 的尾数是 lgB 的尾数的 3 倍，设 A 的最大值为 m ，

B 的最大值为 n ，求 (m,n) 。

解  设四位数 B=10^3×R ，其中 1≤R＜10 。B 的对数 lgB=3+lgR ，lgR 是 lgB 的尾数 。

    因为 lgA 的尾数是 lgB 的尾数的 3 倍，所以有 lgA=3+3lgR ，A=10^3×R^3=(10R)^3 。

    从 A=(10R)^3 和 B=10^3×R 都是整数，可看出 10R 必为整数，即 R 最多带一位小数。

    A 要取到最大值，R 就要尽可能大。因为 A=(10R)^3 是四位数，所以必有

          10^3≤(10R)^3＜10^4 ，1≤R^3＜10 ，1≤R＜10^(1/3)=2.154… 。

    因为 R 要小于 2.154… ，又最多只能带一位小数，可见 R 的最大值只能是 R=2.1 。

    这时 A 的最大值为 m=(10R)^3=(10×2.1)^3=21^3=9261 ，

    这时 B 的最大值为 n=10^3×R=10^3×2.1=2100 。

    即有 (m,n)=(9261,2100) 。