8 节课中可有 3～5 节数学课，不能连上 3 节，第 4、第 5 节不能连排，有几种排课法？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

某老師一天可能有3到5堂數學課(一天有8堂)，然後不能有連續上3堂課

而且第4第5節不能同時排，問一天有多少種排數學課方式(不考慮不同班級)

王守恩

答案是97种排课法。但我是硬算的，期待有好的算法。
简化题意：二进制的8位数，1代表上课。
3个1与1个0有2种，
3个1与2个0有3种，
3个1与3个0有9种，
3个1与4个0有13种，
3个1与5个0有19种，
4个1与1个0有0种，
4个1与2个0有5种，
4个1与3个0有11种，
4个1与4个0有23种，
5个1与1个0有0种，
5个1与2个0有2种，
5个1与3个0有10种。

luyuanhong

题  8 节课中可有 3～5 节数学课，不能连上 3 节，第 4、第 5 节不能连排，有几种排课法？

解  下面将数学课记为“1”，不是数学课记为“0”。

    因为第 4、第 5 节不能连排，所以，第 4、第 5 节只有 (0,0)(0,1)(1,0) 三种情形。

（一）第 4、第 5 节为 (0,0) 。

   这时如果共有 3 节数学课，则可以是 1、2、3 节中排 1 节，有 3 种排法，6、7、8 节中排

2 节，有 3 种排法；或者是 1、2、3 节中排 2 节，有 3 种排法，6、7、8 节中排 1 节，有 3

种排法。

   如果共有 4 节数学课，只能是 1、2、3 节中排 2 节，有 3 种排法，6、7、8 节中排 2 节，

有 3 种排法。

   这时不可能有 5 节数学课，因为如果有 5 节，则在 1、2、3 或 6、7、8 中至少要连排 3 节。

   总之，这种情况下，共有 3×3 + 3×3 + 3×3 = 27 种排法。

（二）第 4、第 5 节为 (0,1) 。

   这时如果共有 3 节数学课，则可以是在 1、2、3 节中排 2 节，有 3 种排法；或是在 1、2、3

节和 6、7、8 节中各排 1 节，各有 3 种排法；或者是在 6、7、8 中排 2 节，由于 5、6、7 不能

连排，所以只有 2 种排法。

   如果共有 4 节数学课，可以是在 1、2、3 节中排 2 节，有 3 种排法，在 6、7、8 节中排 1 节，

有 3 种排法；或是在 1、2、3 中排 1 节，有 3 种排法，在 6、7、8 中排 2 节，由于 5、6、7 不

能连排，所以只有 2 种排法。

   如果共有 5 节数学课，只能是在 在 1、2、3 中排 2 节，有 3 种排法，在 6、7、8 中排 2 节，

由于 5、6、7 不能连排，所以只有 2 种排法。

   总之，在这种情况下，共有 3 + 3×3 + 2 + 3×3 + 3×2 + 3×2 = 35 种排法。

（三）第 4、第 5 节为 （1,0） 。

   这种情况正好与上面（二）左右相反，所以也有 35 种排法。

   综合上面的分析，可知符合要求的排课法总数为 27+35+35 = 97 种。