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本帖最后由 春风晚霞 于 2019-8-23 06:41 编辑
一、正确解读伽利略猜想：
1638年伽利略在他的《两种新科学的对话》一书中提出了如下困惑：“首先，部分数属于平方数，其它则不是；因此，所有数，包含平方数和非平方数的和必定大于单独的平方数。然而，对于每个平方数有且只有一个对应的正数平方根，且对于每个数都必定有一个确定的平方数；所以，数和平方数不可能某一方更多。”
现对伽利略猜想作如下解读：（１）由“部分数属于平方数，其它则不是；因此，所有数，包含平方数和非平方数的和必定大于单独的平方数”可解读为存在集合Ｓ１＝{1，2，3……}＝Ｎ和集合Ｓ２＝{１^2,2^2,3^2……}＝{y∣y=x^2,x∈N}且Ｓ２是S1的真子集。（２）由“每个平方数有且只有一个对应的正数平方根，且对于每个数都必定有一个确定的平方数；”得①存在由Ｓ１到Ｓ２的一一映射（或称一一映照或一一对应）f:S1→S2,x→y=x^2,映射g:S2→S1,y→√x^2=x;②Ｓ２中的元素是“每个数”的“确定的平方数”，所以Ｓ２中元素的个数是n而不是【√n】（曹先生用【√n】表示不大于n的完全平方数的个数。）③Ｓ１中元素的个数与Ｓ２中元素的个数相等（即“数和平方数不可能某一方更多”）。
二、为什么一一映射（也叫双射或满单射）能比较两个无限集的元素一样多（即两无限集等势）
若f;A→B是从Ａ到Ｂ的一一映射，则①对Ａ中每一个元素x在Ｂ中都唯一存在元素y与之对应，且不同的x对应不同的y（单射的性质，确保Ａ中每个元素在Ｂ中都有像，并且Ａ中不同的元素在Ｂ中的像也不同）；②对Ｂ中每一个元素y在A中都唯一存在元素x与之对应，且不同的y对应不同的x（满射的性质，确保Ｂ中每个元素在Ａ中都有原像，并且Ｂ中不同的元素在Ａ中的原像也不同）；故此一一映射方法是比较两个无限集等势的基本方法。注意一一映射法则中的集合Ａ、Ｂ既可是潜在的也可是实在的。如x∈Ａ是潜无穷，y∈Ｂ也是潜无穷；x∈Ａ是实无穷，y∈Ｂ也是实无穷。并且若A中的元素比B中的元素多，必存在不同的原像对应相同的像，则与f是单射矛盾。若B中的元素比A中的元素多，则必存在B中的某一元素没有原像，则与f为满射矛盾。所以若存在A到B的一一映射，无需考虑‘’无限集是人们不可能完成‘’问题，就能确保集合A与集合B等势。
三、在无穷范围内运用欧几里得“全体大于部分”是机械唯物主义思想（机械唯物主义：用孤立的、片面的观点观察世界，把自然界和社会的变化过程归结为数量增减、位置变更，把运动看作是外力的推动，否认事物运动的内部原因、质的变化和发展的飞跃。也叫机械论或形而上学。）这与辩证唯物主义“数学一谈到无限大和无限小它就导入一个质的差异，这个差异甚至表现为不可克服的质的对立”的辩证无穷观相悖。其实在中学数学中无穷范围内“全体大于部分”不再成立的实例较多，如函数y=lnx的定义域（０，∞）和值域（－∞，∞）等势（当然对中学生只能说正实数集与实数集的数一样多或者说数轴上的点与正半轴上的点一样多）；自然数集与正偶数集的元素一样多……所以结合伽利略之惑给中学生介绍“无限集与它的真子集的元素一样多” 的思想（注：高中数学对集合的基本概念，一一对应思想均要求学生掌握，故结合伽利略猜想介绍无穷范围内‘’全体大于部分‘’不再成立是可行的），培养中学生辩证无穷观也是很有必要的。
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发表于 2019-8-22 13:45
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