正四棱柱底面边长 1，高 √2，高与平面α夹角 π/3，求 C1 点在α上的投影扫过的面积

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

drc2000再来

试做一下

luyuanhong

题  正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 底面边长为 1 ，高为  √2 ，A 在平面 α 上，AA1 与 α 夹角 π/3 ，

C1 点在 α 上的投影为 P ，求正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 运动时，P 点扫过区域的面积。

解  设 A1 点在 α 上的投影为 Q ，Q 到 A 点的距离为 QA= √2cos(π/3)=√2/2 。

    C1 到 A1 的距离为 √2 。整个正四棱柱  ABCD-A1B1C1D1 可以围绕 AA1 轴旋转，所以 C1 在 α

上的投影 P 点也围绕 Q 点旋转。旋转中，当 P 点在 AQ 的延长线上时，P 到 A 点的距离最远。这时

A1C1 与 α 平面的夹角为 π/2-π/3=π/6 ，所以 PQ= √2cos(π/6)=√2×√3/2=√6/2 。

    这时 PA=PQ+QA=√6/2+√2/2 。P 点扫过的区域，是以 A 为圆心，以 √6/2+√2/2 为半径的圆，

这个圆的面积为 π(√6/2+√2/2)^2=π(2+√3) 。