我对埃雷拉图（E—图）的研究

雷明85639720

我对埃雷拉图（E—图）的研究
雷  明
（二○一九年八月二十二日）
（我在这里发不上图，请到《中国博士网》中去看）

埃雷拉图（Errera—图，如图1，a），是Errera于1921年给出的，这是一个地图（3—正则平面图）形式的图，其对偶图是如图1，b的极大平面图。

1、埃雷拉图的特征：
Errera—图中有连通的A—C链和连通的A—D链，两链不但起始顶点是同一个顶点，且中途又相交叉，也不能连续的移去两个同色B，是一个地地道道的H—构形。该图的特征还有既是含有经过构形三个围栏顶点的环形的A—B链，又含有不经过构形围栏顶点的环形的C—D链，缺一都不可能是E—图。这两条环形链是以待着色顶点为中心的两个“同心园”。该图因为含有经过构形围栏顶点的环形的A—B链，把C—D链分隔成互不连通的两部分，可以交换A—B环形链内外的任一部分C—D链，使图成为可约构形。这早在1935年时，Kittell就用了与上述同样的方法解决了E—图的4—着色问题。
张彧典先生认为E—图的主要特征是所谓的“十折对称”，我认为这是不对的。上面画的图是隐形的（未画出待着色顶点的图），是乎还有点对称性，但如果把待着色顶点也画进图中去（如图2），看看它还能是对称的吗？看还是张先生所说的“十折对称”和“中心对称”吗？最多也只是有一个对称轴的对称图。因此说E—图是“十折对称”构形的说法是错误的。况且这个“十折对称”的提法也是不科学的，明明图1，b是一个只有5个对称轴的图，只能折5折，怎么能说是十折对称呢？

2、埃雷拉图的特点：
Errera—图最大的特点是，在施行两个方向的转型交换时，都以每20次转型为一个周期（即原来是BAB型，20次转型后又是BAB型），无穷的循环下去，永远都不可空出颜色而可约。很多学者也都认为E—图是一个无穷循环转型也空不出颜色的构形。按具有双环链的特征和无穷转型的特点，自然就把平面图的构形分为E—图类构形和非E—图类构形两大类。非E—图类自然而然就是有限次转型就可以空出颜色的可约构形了。又因为E—图两个方向的转型都是以20次转型为一个周期的无穷循环，这就为证明非E—图类构形可在有限的42次转型之内成为可约构形创造了条件。也使得四色猜测可以得到证明是正确的。
3、含有双环链是构成埃雷拉图的必要条件：
张彧典先生认为E—图的转型产物都是E—图类构形，这是不对的。只有既是含有经过构形三个围栏顶点的环形链，又含有不经过构形围栏顶点的环形链的图，才是构成 E—图类构形的必要条件。但不一定含有这两个条件的图就一定都是E—图类构形。因为有些图虽然也是无穷循环转型也空不出颜色的构形，但却不含这两条环形链，如图3中的5—轮，所以5—轮构形也是E—图类构形；图中虽然也都含有以上的两条环形链，有的图则是无穷循环转型也空不出颜色的构形（如图4，a），是E—图类构形；而有的图却是有限次转型后就可以空出颜色的构形（如图4，b，该图逆时针转型交换13次就空出了颜色B，而顺时针转型交换4次也就可空出颜色A）。

应该说，E—图的转型次数是偶数的产物都是E—图类构形，而转型次数是奇数的产物则是非E—图类构形。因为前者的图中含有双环链，而后者的图中不含有双环链。所以不能把E—图转型的产物都叫做E—图类构形。虽然其中都含有环形的A—B链，但由于图的类型发生了转化，所以同样是A—B环形链，但其实质是不相同的。
为什么E—图的奇数次转型的产物，向两个方向的转型又都是无穷循环转型也空不出颜色的构形呢？这是因为其本身就是无穷循环转型的E—图（E—图经过偶数次转型的产物）经过一次转型后的产物，这只能说是E—图经过偶数次转型的产物的特点，而不是E—图经过奇数次转型的产物的特点。虽然这种构形的图中都含有经过了构形两个围栏顶点的环形链，但含有这种环形链的图却不一定都能无穷的循环转型。比如赫渥特图就含有这样的环形链，但只需要转型交换3次就可以空出颜色来了。所以除了图1外，我们应把E—图所有的转型产物都视为含有环形链的非E—图类构形。
4、非E—图类构形的最大转型交换次数是42：
对于平面图来说，E—图只是其中的一个，只是一个个别的图，是不能代表一般的。张彧典先生只是从E—图中改变某些四边形的对角线，对所得到的非E—图构形的转型交换得出，这些非E—图构形最大的转型交换次数是16，就认为整个非E—图类构形的最大转型交换次数也是16是不对的。不能把只对一个个别图的研究得出的结论推广到一般的图中去。
一个E—图（包括5—轮构形）两个方向的转型交换都是以20次转型为一个周期无穷循环转型的，永远也是空不出颜色的。那么任何一个非E—图构形两个方向的转型，则一定要在第20次转型（包括第20次）之内，转化成一个可以连续的移去两个同色的K—构形。这样在两个20次之间就是41个非E—图类构形，所有的这些构形无论是向那个方向转型，一定是会在40次转型之内转化成可以连续的移去两个同色的K—构形。再进行两次空出颜色的交换，就可空出两个同色给待着色顶点。所以任何非E—图类构形转型交换的总共交换次数是不会大于42次的。
张先生不但把从一个E—图的研究所得出的结论推广到一般，而且把这个最大的交换次数与敢峰先生用演绎法构造E—图也联系了起来。说敢峰先生演绎的第十六步得到了E—图，他所得到的非E—图构形的最大交换次数也是16，他的十五种非E—图构形（张先生叫做Z—构形）的交换次数与敢峰先生的十六步演绎建立了一一对应的关系等等。请看，敢峰先生的演绎是从一个最简单的可以连续的移两个同色B的可约的起始图（如图5），一步一步演绎得到个一个ABA型的E—图的（如图6），以后再继续演绎，永远是空不出颜色来的；而该张先生却是对一个非E—图类构形进行转型，使其变成可约构形的。二者是完全不同的两回事，怎么能联系在一起呢？这不是硬在凑合吗？

况且，敢峰先生道底是在第几次演绎后得到了E—图的？请张先生好好的看一看敢峰先生的书。书中明明是在第十四次演绎后得到ABA型的E—图的嘛！你不要只看见第十四步演绎后的图中少画了一条边，就不看见实际是上是在第十四步演绎得到E—图的实质，而硬要坚持说是第十六步演绎才得到E—图的错误。难道说，作者所提供的图中，或者印刷时在排版过程中都不会出现错误吗？这一下你又如何的与敢峰先生的演绎一一对应呢？
的确，敢峰先生的第十四步演绎所得的图是一个E—图构形，其中不但有双环链，而且两个方向的转型交换都是无穷循环的。而第十三次演绎之前所得的图都是非E—图类构形，且也不是极大图。它们都是可以经过有限次的与原来演绎相反方向的转型交换后就可以空出颜色的。最大的转型次数是14，但这时的图只是一个可以连续的移去两个同色的K—构形，还需要进行两次空出颜色的交换才能空出颜色来。所以总的交换次数是16。但这十三个构形，若按演绎的方向继续进行顺时针方向转型交换时，构形类型不发生变化，两次空出颜色的交换后，就可空出颜色来。如第十三次演绎所得的图（如图7，a），逆时针方向16次转型交换就空出了颜色（如图7，b），而顺时针方向2次交换就可以空出颜色来（如图8）。

这里的最大交换次数16虽与张先生的16正好一样，但却不能说明就是非E—图类的构形的最大转型交换次数就是16。因为的确有比16次转型交换次数更大的非E—图类构形存在（如图9）。

    由于任何一个构形转型交换时都可以向两个方向进行，张先生只是对改变E—图的某些四边形的对角线所得的非E—图类构形进行了逆时针转型，得到了最大转型交换次数是16次。请张先生再对这些图进行一下顺时针方向的转型，看一下各构形两个方向的转型交换次数之和是否都不大于16呢？顺时针方向转型时，这些图中最大的交换次数是多少呢，不知你做没有做过这种工作？你证明没有证明过非E—图类构形的最大转型交换次数就是16呢？
5、用E—图是不能代替所有平面图的：
敢峰先生用演绎的方法构造了埃雷拉图，但他却把该图叫做“终极图”，并且认为只要研究了E—图的4—着色问题，就等于证明了四色猜测是正确的。我认为这种观点是偏面的。E—图只是一个个别的平面图，对它的研究是不能代替对一般平面图的研究的。张彧典先生对非E—图类构形的最大转型交换次数的研究也是存在着偏面性的。不能把对E—图一个图的研究结论拿到一般平面图中去使用。
虽然E—图在转型的过程中所得到的各个中间结果都含有经过围栏顶点的环形链，都可以用“断链交换法”进行解决，反映了有经过围栏顶点的环形链的构形的解决方法。但它在转型交换过程中，始终反映不出没有任何经过围栏顶点的环形链的构形应如何去解决的问题。所以说只研究一个E—图，是不能解决四色猜测的证明问题的。
另外，敢峰先生把他构造的E—图名叫“终极图”，也很难理解这“终极”二字是什么意思，是反映了什么问题呢？

雷  明
二○一九年八月二十二日于长安

注：此文已于二○一九年八月二十三日在《中国博士网》上发表过，网址是：