从1,2,…,8中取5个数字作排列，其中与12345有3个以上数字和位置都相同的排列有几种？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

已知5個數字排列, 例如12345, 的5位數(數字不重複)

則從12345678取5個數字排列, 做5位數

則有 [3個數字以上, 數字及位置和已知的相同] 的5位數, 共有幾個?

luyuanhong

题  从 1,2,…,8 中取 5 个数字作排列，其中与 12345 有 3 个以上数字和位置

都相同的排列有几种？

解  下面分三种情况：

（一）与 12345 中 5 个数字和位置都相同的排列只有 1 种，就是 12345 。

（二）要求与 12345 中恰有 4 个数字和位置都相同的排列数，可以这样考虑：

   先从 5 个位置中确定 4 个与 12345 数字相同的位置，有 C(5,4)=5 种选择。

然后考虑剩下的 1 个位置，1,2,…,8 中已经用掉了 4 个数字，还剩 4 个数字，

这个剩下的位置上的数字不能与 12345 相同，所以 4 个数字中只有 3 个数字

可以放在这个位置上，只有 3 种放法。

   由以上分析可知，在这种情况下，符合要求的排列共有 5×3=15 种。

（三）要求与 12345 中恰有 3 个数字和位置都相同的排列数，可以这样考虑：

   先从 5 个位置中确定 3 个与 12345 数字相同的位置，有 C(5,3)=10 种选择。

然后考虑剩下的 2 个位置，1,2,…,8 中已经用掉了 3 个数字，还剩 5 个数字，

剩下的第一个位置上的数字不能与 12345 相同，所以 5 个数字中只有 4 个数字

可以放在第一个位置上，第一个位置有 4 种放法。这位置放完后，还剩 4 个数字。

第二个位置上的数字不能与 12345 相同，一般来说，4 个数字中只有 3 个数字可以

放在第二个位置上，所以第二个位置有 3 种放法。但是，还要加上 1 种特殊的放法，

即：第一个位置放的是 12345 中第二个位置上的数字，第二个位置放的是 12345 中

第一个位置上的数字。

   由以上分析可知，在这种情况下，符合要求的排列共有 10×(4×3+1)=130 种。

   总之，符合本题要求的排列共有 1+15+130=146 种。