高中遗留问题：根据行星沿椭圆轨道绕日运动的规律，推导万有引力公式

永远 · 发表于 2019-9-1 13:38

本帖最后由 luyuanhong 于 2019-9-1 17:49 编辑

高中遗留问题：已知太阳质量M，地球m，它们之间的距离为r，地球线速度为v，角速度为w。

请问万有引力公式在椭圆轨道下和平面直角坐标系下是怎么推导的

永远 · 发表于 2019-9-1 13:43

本帖最后由永远于 2019-9-1 13:48 编辑

声明：1，请在平面直角坐标系下推导，极坐标系下的不算。

2，请在椭圆轨道下分析问题，极坐标下的不算。

永远 · 发表于 2019-9-1 13:49

本帖最后由永远于 2019-9-1 13:52 编辑

陆老师可否分析一二，等陆老师上线帮我科普一下

以前上学的时候，物理老师直接省去不推导了，说什么死记硬背，记住就行，说的像文科一样。

xfhaoym · 发表于 2019-9-1 15:11

这个公式中的"r"计算起来的点啰嗦。因为比如，地球与月亮。月亮围绕地球旋转不是正园，是个椭园。地球在其中一个交点上。月亮与地球的距离"r"用三角函数，如余玄定理求得。与椭园的a,b,θ有关。你应当知道。

永远 · 发表于 2019-9-1 15:33

我感觉先求出线速度

luyuanhong · 发表于 2019-9-1 15:44

本帖最后由 luyuanhong 于 2019-9-1 15:48 编辑

下面是我过去在《数学中国》发表过的帖子，可供参考：

永远 · 发表于 2019-9-1 15:47

本帖最后由永远于 2019-9-1 15:49 编辑

楼上没有给出椭圆轨道且平面直角坐标系下万有引力公式推导过程

luyuanhong · 发表于 2019-9-1 15:56

本帖最后由 luyuanhong 于 2019-9-1 16:17 编辑

第 6 楼中的推导，得出两条结论：

（1）加速度的大小，与距离 r 的平方成反比。（2）加速度的方向，是从行星指向太阳中心的方向。

加速度从哪里来？是由于引力作用产生的，有公式 F=ma 。所以，从上面两条结论，马上就可以得知：

（1）引力的大小，与距离 r 的平方成反比。（2）引力的方向，是从行星指向太阳中心的方向。

由于加速度 a 与距离 r 的平方成反比，所以有 a=k/r^2（k 是某个常数）。

由牛顿第三定律可知 F=ma，所以有 F=km/r^2（m 是地球质量）。

又根据牛顿第二定律，作用力等于反作用力，所以太阳对地球的引力，等于地球对太阳的引力，所以又有

F=KM/r^2 ( M 是太阳质量，K 是某个常数）。

结合公式 F=km/r^2 和 F=KM/r^2 ，就可以得到万有引力公式 F=GMm/r^2 （G 是引力常数）。

永远 · 发表于 2019-9-1 16:01

这是中学阶段的几个重要结论，可惜老师直接让记住结论，等了半天，他没推导，直接来个结论

xfhaoym · 发表于 2019-9-1 17:19

你说的是引力方程，与线速度有关吗？

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