埃雷拉图（E—图）的特点及其与四色猜测证明的关系

雷明85639720

埃雷拉图（E—图）的特点及其与四色猜测证明的关系
雷  明
（二○一九年九月六日）
（图发不上来，请到《中国博士网》中去看）

1、埃雷拉图的特点：
埃雷拉图是在1921年由Errera（埃雷拉）给出的（如图1，当时Errera给出的是地图的形式，即是3—正则的平面图，这里画的是其对偶图），很多学者都对其进行过研究。1992年敢峰先生用演绎的方法构造了Errera—图，使得该图的来历有了强有力的支撑点。研究E—图的来历故然重要，但研究该图的特点及其特点对研究四色问题的作用更为重要。现在我们就来分折E—图的特点。

首先可以看到，图中有两条连通且相交叉的A—C链和A—D链，并且不能连续的移去两具同色B，这就说明E—图是一个H—构形。图中又有经过了围栏顶点的环形的A—B链，这就给我们把H—构形分成有经过围栏顶点的环形链的构形和无经过围栏顶点的环形链的构形创造了条件。对于有经过围栏顶点的环形链的构形，可以交换环形链内、外的任一条相反色链，都可以使连通的A—C链和A—D链断开，使图变成为K—构形而可4—着色。相应的这种方法就叫做“断链交换法”。对于无经过围栏顶点的环形链的构形，则采用有限次交换的“转型交换法”解决问题（在后面的4中再谈）。
许多学者对E—图的研究都得出结论，该图无论是进行逆时针转型，还是顺时针转型，无论是进行对角链交换转型，还是进行邻角链交换转型，都是无穷的循环过程，都空不出颜色来给待着色顶点着上。但却利用图中含有经过围栏顶点的环形的A—B链，而交换A—B环内、外的任一条C—D链，使图变成为K—构形而解决了其4—着色的问题。
虽然没有明显的特征可以看出什么样的图才是无穷循环转型的图，但E—图的无穷循环转型，却为我们从理论上把H—构形分成无穷循环转型的构形和有限转型的构形创造了条件。对于无穷循环转型的构形，因其中一定存在着经过围栏顶点的环形链，可以用“断链交换法”进行解决。对于非无穷循环转型的构形也采用有限次交换的“转型交换法”进行解决（也在后面的4中再谈）。这里要注意的是：虽然无穷循环转型的构形在转型过程中的每一步，都是存在着经过了围栏顶点的环形链，但存在经过转栏顶点的环形链的构形，却不一定都是无穷循环转型的构形。所以我们说还没有明显的特征可以看出什么样的图才是无穷循环转型的图。
2、埃雷拉图无穷循环转型的循环周期：
E—图在进行对角链交换转型时的循环周期是20。图中的四种颜色都可作为5—轮构形的峰点，共有五个围栏顶点，每种颜色作构形的峰点时，以该颜色为主的双环交叉链共有四种结构（见后面的图2和图4），因为4，5，4三数的最小公倍数是20，所以E—图在进行对角链交换转型时的循环周期是20。
E—图在进行邻角链交换转型时的循环周期是60。图中虽有四种颜色，但只有三种颜色可作为5—轮构形的峰点，共有五个围栏顶点，每种颜色作构形的峰点时，以该颜色为主的双环交叉链也有四种结构（见后面的图3和图4），因为3，5，4三数的最小公倍数是60，所以E—图在进行邻角链交换转型时的循环周期是60。
对图1的E—图进行有限次逆时针对角交换转型（如图2）和逆时针邻角交换转型（如图3），整理成BAB或其他类型的构形时，以各色为峰点时，以该色为主的双环交叉链都只是结构相同的四种（如图4）。
      
      
   
对图1的E—图进行两种转型的结果，都说明了E—图是无穷循环转型的构形，其对角链交换转型的循环周期是20，而邻角链交换转型的循环周期是60。与我们预计的循环周期值是相同的。
3、无穷循环转型的构形的种类：
由于E—图进行对角链交换转型的周期是20，所以在两个方向进行同样的转型时，两个循环周期之间（即两个第20次对角链交换之间，但不包括两个第20次）一共有39个无穷循环转型的构形。
同样的，也由于E—图进行邻角链交换转型的周期是60，所以在两个方向进行同样的转型时，两个循环周期之间（即两个第60次对角链交换之间，但不包括两个第60次）一共有119个无穷循环转型的构形。
还有，在E—图中增加某些四色构件后的图也具有无穷循环转型的性质，所以无穷循环转型的构形除了上述的39个和119个外，还有更多的无穷循环转型的构形，并非只有一个E—图。所有这些图中都存在经过构形围栏顶点的环形链，都可以用“断链交换法”进行解决。
4、无环形链的构形和非无穷循环转型的构形的转型交换次数：
在以上的《埃雷拉图的特点》一节中，我们已经解决了有经过构形围栏顶点的环形链的构形和无穷循环转型的构形的4—着色问题，现在剩下的就是无经过构形围栏顶点的环形链的构形和非无穷循环转型的构形的4—着色问题还没有解决。
可以肯定，这类构形一定是能够在“有限次”的转型之内进行4—着色的，否则，就成了无穷循环转型的构形了。所以处在以上E—图两个方向的转型的两个相邻周期内的39种和119种非无穷循环转型的构形，无论是向那个方向进行转型，则必须在第40次和第120次转型之内（包括第40次和第120次转型），图就要转化成可以连续的移去两个同色的可4—着色的K—构形。再进行两次关于“空出颜色的交换”，即可空出一种颜色给待着色顶点着上。所以无经过构形围栏顶点的环形链的构形和非无穷循环转型的构形进行转型交换的最大交换次数是42和122。
若用X表示逆时针转型的次数，用Y表示顺时针转型的次数，则在施行对角链交换转型的情况下有X对≤40，Y对≤40和X对＋Y对≤40，总的交换次数是X对＋2≤42，Y对＋2≤42；在施行邻角链交换转型的情况下有X邻≤120，Y邻≤120和X邻＋Y邻≤120，总的交换次数是X邻＋2≤122，Y邻＋2≤122。这就说明了任何无经过构形围栏顶点的环形链的构形和非无穷循环转型的构形都是可以在有限的转型交换之内解决其4—着色的问题的。
5、四色猜测是正确的：
平面图的各种不可避免的构形现在都已经是可约的了，都是可以4—着色的了，所以四色猜测也就得到了证明是正确的。

雷  明
二○一九年九月六日于长安

注：此文已于二○一九年九月七日在《中国博士网》上发表过，网址是：

雷明85639720

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