修炼四十年，发现二百五

lusishun

四十多年对数学的执迷，这才发现了二百五，
这里的二百五，是指数字250.

原来250还隐含着这样的奇巧，

用公式求出小于250的，数字分别与2,3,5,7,11,13互质，相差68的素数有几对：

解：（250-68）（1-1/2）（1-2/3）（1-2/5）（1-2/7）（1-2/11）（1-2/13）
     =182（1/2）（1/3）（3/5）（5/7）（9/11）（11/13）
     =9

       实际有：
（29,97），（41,109），（59，127），（71,139），（83，151），（89,157），（113,181），（131,199），（173,241）。

正好九组。与计算吻合。

这里的182=2*7*13是关键，估计类似的比182大的数值，不可能有了。

有兴趣的网友，可找一找。

lusishun

如m=70,
小于70且与2,3,5,7互质的素数有
70（1-1/2）（1-1/3）（1-1/5）（1-1/7）-1
=70（1/2）（2/3）（4/5）（6/7）-1
=16-1=15（个）
实际有：11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67.

和为70，且和数都与2,3,5,7互质的素数对有：
70/2（1-1/2）（1-2/3）（1-1/5）（1-1/7）
=35（1/2）（1/3）（4/5）（6/7）
=4.
实际数对是：（11,59），（17,53），（23,47），（29,41）.

存在在这里；

小于72且每个数都与2,3,5,7互质的孪生素数对：
（72-2）（1-12）（1-2/3）（1-2/5）（1-2/7）
=70（1/2）（1/3）（3/5）（5/7）
=5，
实际是（11,13），（17,19），（29,31），（41,43），（59,61）。

lusishun

m=154时：
小于154且与2,3,5,7,11互质的素数有
154（1-1/2）（1-1/3）（1-1/5）（1-1/7）（1-1/11）-1
=154（1/2）（2/3）（4/5）（6/7）（10/11）-1
=32-1
=31
实际是：（自查）

和为154，且和数都与2,3,5,7,11互质的素数对有：
154/2（1-1/2）（1-2/3）（1-2/5）（1-1/7）（1-1/11）
=77（1/2）（1/3）（3/5）（6/7）（10/11）
=6.
实际是：（17,137），（23,131），（41，113），（47,107），（53,101），（71，83）。

小于156且每个数都与2,3,5,7,11互质的孪生素数对：
（156-2）（1-1/2）（1-2/3）（1-2/5）（1-2/7）（1-2/11）
=154（1/2）（1/3）（3/5）（5/7）（9/11）
=9.

实际是：（17,19），（29,31），（41,43），（59,61），（71,73），（101,103），（107,109），（137,139），（149,151）。
吻合，九组

lusishun

保存在这里

100（1-1/2）（1-1/3）（1-1/5）（1-1/7）-1= 22.85714857 -1=21.8571857，而与2,3,5,7互质的素数为21

lusishun

有网友说，用这个方法不论是计算素数的个数或者孪生素数的个数减一对于充分大的数值都可以忽略不计，太对了。

lusishun

在这上边 的特例中，我虽然用到了Π(1-1/p)，     与 Π(1-2/p)， 而得到精确值，但并不能说Π(1-1/p)，     与 Π(1-2/p)完全可以依赖，而对Π(1-1/p)，     与 Π(1-2/p)的来历还必须认识清楚。否则，我们得到的结果再精确，也是无本之花，无源之水。

lusishun

在这上边 的特例中，我虽然用到了Π(1-1/p)，     与 Π(1-2/p)， 而得到精确值，但并不能说Π(1-1/p)，     与 Π(1-2/p)完全可以依赖，而对Π(1-1/p)，     与 Π(1-2/p)的来历还必须认识清楚。否则，我们得到的结果再精确，也是无本之花，无源之水。

lusishun

Π(1-1/p)，   与 Π(1-2/p)

一楼及3楼的计算就这麽精确，Π(1-1/p)，Π(1-2/p)就可放心的用吗?，no.
这是近似计算，只是凑巧了，小数部分有相互重叠，抵消。这仅仅是特例。除此一外，很难再找到比182大的数，因182=2*7*13.
  那我有为什么，把这个例子拿来炫耀呢、是想说明，用Π(1-1/p)，筛的是倍数含量，而不是倍数个数，虽有小部分，但小数部分，也是遵照重叠规律的，小数部分不会无限积累的。
两筛法中的Π(1-2/p)，也有这规律。
但是不可因小数部分部分也遵照重叠规律，就可放心了，作为证明（个数）来说，还需要严格到没有任何漏洞，所以我的解决办法是    加强比例。

lusishun

lusishun 发表于 2019-9-15 21:40
Π(1-1/p)，   与 Π(1-2/p)

一楼及3楼的计算就这麽精确，Π(1-1/p)，Π(1-2/p)就可放心的用吗?，no.

在（1,2,3,4,5,6,7,8,9,10）中，筛去2,3的倍数，剩下（1,5,7），剩下三个数，
而用倍数含量的筛法：10（1-1/2）（1-1/3）=10（1/2）（2/3）=3.333333333.....
表明，没有筛净。当n很大是，误差，就说不清了，
所以，我提出用加强比例筛法。

lusishun

存放在这里，
>>>>>至于倍数含量筛法和概率的方法其实质上和连乘积筛子是一样的

刚刚看到您的这句段话，
我认为您这就话是欠妥的，
1.老鲁的倍数含量筛法是在提出倍数含量的概念，发现了倍数含量的重叠规律之后，定义的一种筛法。（这是首先要明确的）
2.由概率的方法得到连乘积筛子，是没根据的。
    合数的出现，不属于概率事件，两个素数的倍数（合数）出现是相互连系的，而不是相互独立的。
   所以用概率乘法法则，得到的连乘积不可取的，是没有根据的。


     好多网友还热衷概率乘法法则，浪费时间。