对Kittell在1935年给Errera图着色的解析

雷明85639720

对Kittell在1935年给Errera图着色的解析
雷  明
（二○一九年九月十三日）

《美国数学月刊》1998年2月105卷第2期170-174页刊出了Joan Hutchinson and Stan Wagon（琼•哈钦森和斯坦•马车）的文章《Kempe Revisited》（《肯普再研究》），介绍了1935年Kittell对E—图的4——着色过程。文中所画的E—图如图1所示。将其变形，画成规律一点的图则是图2，再把图2转动一个角度得图3，再把图3中待着色顶点1转动至图的最上方得图4。这就是我们平时所画的E—图的形式。


Kittell看到了从顶点17R到顶点3Y的R—Y链和从顶点17R到顶点5B的R—B链都是连通链，不可能交换，也空不出R，Y，B三色之一，只能移去顶点10G和顶点12G的两个同色G。他还看到与顶点10G相邻的已染色的顶点是17R，9B，15R，3Y，只要把3Y换成3B，与顶点10G相邻的顶点就成了17R，9B，15R，3B，顶点10G就可以换成10Y；他也看到与顶点12G相邻的已染色的顶点是17R，7Y，16R，5B，只要把5B换成5Y，与顶点10G相邻的顶点就成了17R，7Y，16R，5Y，顶点12G就可以换成12B。这样与待着色顶点1相邻的顶点10G，17R，12G，5B，3Y，分别就变成了10Y，17R，12B，5Y，3B，就空出了G给待着色顶点1（如图5）。

《Kempe Revisited》一文中是这样说的：“如果我们对由5度顶点的邻点组成的环上的相关联顶点所决定的色链上进行换色，那么我们可能会使肯普方法成功。Kittell用‘正切链’的术语来指由相关联顶点所决定的色链。”这里的“正切链”就是我们平常所说的“邻角链”。引文《Kempe Revisited》中接着又说，Kittell“使用Errera图中的顶点3和5进行如上所述的换色”，从而使G色的顶点10没有Y色的邻点，所以它可以改染成Y色；同样，G色的顶点12也没有B色的邻点，所以它可以改染成B色。这样，就可以释放出G色给顶点1染色，从而解开了困局（如图5）。
以上这个着色方法与我们对E—图的着色方法是完全相同的，只是分析问题的角度不同，叙述的方法不同，但实际最后得到的对果是完全相同的。我们是看到图中有经过围栏三个顶点的R—G环形链，把B—Y链分成不连通的两部分，交换其中一部分就可使原来连通且相交叉的R—Y链和R—B链断开，使图变成一个可以连续的移去两个同色G的K—构形；而Kittell这样的交换邻角链的方法，最后也达到了使原来连通且相交叉的R—Y链和R—B链断开，使图变成一个可以连续的移去两个同色G的K—构形的目的。Kittell的两次邻角链的交换就相当于我们的在环形的R—G链的外面进行B—Y链的交换这一步；Kittell是提前把10G换成了10Y，把12G换成了12B，空出了G的，而我们是推后把10G换成了10Y，把12G换成了12B，才空出了G的。

雷  明
（二○一九年九月十三日于长安）

注：此文已于二○一九年九月十三日于《中国博士网》中发表过，网址是：

雷明85639720

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