已知平面法向量为 (a,b,c) ，求三个坐标轴向量在平面上投影的夹角余弦

luyuanhong

ataorj

1 你的"投影向量"应该是"投影法向"吧?
物体长度总是不小于其平行正投影的长度.而你的单位向量的"投影向量"却可以大于1.你的"投影向量"缺少了因子1/(a^2+b^2+c^2).下面是我的推导.
设M=(a^2+b^2+c^2)
法向为n(a,b,c)且过原点的平面m方程为ax+by+cz=0  ...(1)
法向为n(a,b,c)且过(1,0,0)的直线l的参数方程为:x=1+ta,y=tb,z=tc. ...(2)
(2)代入(1),得:t=-a/M.t代入(2),得:
x=1-a^2/M
y=-ab/M
z=-ac/M
而这时,点(x,y,z)是点(1,0,0)在平面m上的投影,向量(x,y,z)也是向量(1,0,0)在平面m上的投影向量.同理,
(-ba/M,1-b^2/M,-bc/M)是(0,1,0)在平面m上的投影;
(-ca/M,-cb/M,1-c^2/M)是(0,0,1)在平面m上的投影.
2 不明白你的余弦是如何做到化简的.
3 我的资料里没有查找到上标r,它仅仅表示方向吗?
4 一个困惑:投影作图,投影点空间坐标已知,不计算余弦就无法作图吗?比如:
已经画出了原点和(1,0,0)的投影O和X,也知道了(0,1,0)的投影点坐标Y,画出它还必须求出OY和OX的夹角余弦吗?这种余弦用于作图有二义性?:逆时针?顺时针?
改用模值作图也有二义性...