回复张彧典先生转发的《四色定理徒手证明》

雷明85639720

回复张彧典先生转发的《四色定理徒手证明》
雷  明
（二○一九年十月二十九日）

张先生:
1、你的参考[4] 的证明中，只是在轮胎面上画了一个只有七个面的图，这个图的对偶图就是一个完全图K7，是一个非平面图，当然只能嵌入在亏格为1的轮胎面上，而嵌入不到亏格为0的平面（或球面）上了。K7图的色数一定是7。
2、平面上所能嵌入的完全图可能是K4，K3，K42，K1，其中顶点数最多的是K4（K5和K6就不能嵌入到平面上来了）。由于完全图的色数与其顶点数相同，所以平面图的色数只能是小于等于4了。而轮胎面上所能嵌入的完全图可能是K7，K6，K5，K4，K3，K42，K1，色数分别是7、6、5、4、3、2、1，其中顶点数最多的是K7（当然K8等也不能嵌入到轮胎面上来了），所以轮胎面上的图的色数一定是小于等于7的。这里的K4，K3，K2，K1可嵌入的曲面的最小亏格是0（即其还可以嵌入亏格为0的球面和平面），所以K4，K3，K42，K1图的亏格也是0，但它们也可嵌入到亏格是1的轮胎面上。
3、但平面上的图的顶点数不可能只是小于等于4，而是任意的，这就意味着可嵌入平面上的平面图的顶点数可以是大于4的，实际上绝大多数平面图的顶点数都是大于4的。同样的道理，可嵌入轮胎面的上的图的顶点数也可以是任意的，而不只是等于小于7的，也是可以大于7的。
4、如果参考[4]的作者对亏格为1的图色数是小于等于7（七色定理）的证明是对的，那么我们也可以仿照此证明对平面图的色数是小于等于4（四色定理）进行证明。我们也可以只画一个有四个面的图，其对偶图就是K4图，只用四种颜色，就证明四色猜测是正确的。但我想，可能谁都不会认为这是可行的！
5、我认为用与曲面和图的亏格有关的方法，证明四色猜测时应该是这样的：利用多阶曲面上的欧拉公式v＋f＝e＋2－2n（式中v、f、e和n分别是图的顶点数，面数，边数和亏格数），完全图的边数与顶点数的关系e＝（v－1）v/2，以及任何图中都有2e≥3f的关系，得到一个关于顶点数v的一元二次不等式方程，解这个不等式方程的根，就得到了变量是图的亏格的、不同亏格下的曲面上的完全图顶点数的公式（不等式）。由于完全图的色数就是其顶点数，所以把顶点数v换成色数γ时，这个不等式方程的根（不等式）就变成了赫渥特多阶曲面上地图的着色公式。这也就把一百多年来一直未能解决的关于赫渥特多阶曲面上地图的着色公式的来历也就明白了。把平面图的亏格0代入赫渥特多阶曲面上的地图着色公式中，得到平面图的色数是小于等于4的，这就证明了四色猜测是正确的。由于赫渥特对他的图（是一个平面图）不能进行4着色，坎泊也不能对其进行4—着色（实际上该图是可以4—着色的），所以坎泊也就只能承认自已“弄错了”，赫渥特也只好在他的公式后注了一个（n＞0）的限制。当然，把n＝1代入公式中时也得到亏格为1的图的色数是小于等于7的，也就是说，轮胎面的色数是小于等于7的。
6、我们虽然不知道赫渥特是怎么得到他的多阶曲面上地图的着色公式的，但现在我们可以用公式推导出该公式，证明了该公式不但适用于亏格是大于0的各种曲面，而且适用于亏格为0的平面和球面，所以从此后就可以把赫渥特多阶曲面上地图的着色公式中的附加限制条件（n＞0）去掉了。

雷  明
二○一九年十月二十九日于长安

注：此文已于二○一九年十月二十九日在《中国博士网》上发表过，网址是：

雷明85639720

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