我与焦永溢关于四色问题的交流记录

雷明85639720

我与焦永溢关于四色问题的交流记录
雷  明
（二○一九年十一月二日整理）

    十月三十一日，我的电子信箱中突然收到了焦永溢朋友的来信，发了他的一篇文章，题目是：《最大平面（球面）拓扑图中的各点度数关系式推导》，他称这是“重大数学发现”和“一个媲美简单多面体欧拉公式的公式”。这两个公式分别是：“点数×3-棱数=6和点数×2-面数=4”。我看了后，给了以下的回信。后来他有些意见，我就针对他的意见，再回复了几次，也整理在后面。
焦永溢朋友：
    我看了你的文章，就不客气的直说了。你这样的证明，不是不可以。但我感到还是有问题的。
1、你文章中有一句这样的话：“在研究‘四色问题’时，必须要在最大平面（球面）上分析，若没有外面（球后面中间）的这一点，带多边形的拓扑图所研究出来的是伪四色，一旦要加上这点就变成需要五色了。”对的。你说的这个“最大拓扑图”就是极大平面图。即所有面都是三边形的平面图。你的分析也是对的，在研究四色问题时，必须要在最大平面（球面）上分析，若没有外面（球后面中间）的这一点，带多边形的拓扑图所研究出来的是伪四色，一旦要加上这点就变成五色了。
2、地图本身就是一个平面图，且是3—正则的平面图，即每一个顶点都连着3条边，也就是所谓的“三界点”。这个3—正则平面图的面中就包括着最外面的一个无限面在内，其对偶图是一个极大的平面图，当然也就含有与这个无限面相对应的顶点。四色猜测的提出一定是包含着这个无限面的，当然研究四色问题时，一定是要研究3—正则平面图中包括无限面在内的所有面，或者说一定要研究的是极大平面图。否则就会出现你说的一旦要加上与无限面相对应的这一点就变成有五种颜色的地图了。
3、虽然你的证明结论都是对的，但你的证明所用的图太的“特殊”了，不能表代“一般”。你既已说了证明四色猜测时，必须用“最大拓扑图”，即极大平面图。但你所用的图却不是极大平面图（或最大拓扑图）。你的图中的却是有一个多边形面的。如果你在你的图的最外一圈外的多边形面中增加一个顶点，且把多边形的每个顶点都与这个顶点用边连起来，不就是一个最大拓扑图（或极大平面图）吗？这个图中不是就有了至少一个顶点的度是5了吗？这就能说明所有度都是大于等于6的平面图是不存在的。
4、你不是说你不知道拓扑学中的定理“整个最大平面图中，度数最小的点一定小于等于五度”是怎么推导出来的，现在我来告诉你。
极大平面图的边e与顶点v间本来就有e＝3v－6的关系，由于一条边的两端就是两度，所以极大平面图的总度数是∑d＝2e＝6v－12，各顶点的平均度∑d/v＝2e/v＝（6v－12）/v＝6－12/v，当对∑d/v取极限（即v→∞时的∑d/v值）时lim∑d/v＝6，但永远也不会等于6。这就证明了任何平面图中总有小于等于5度的顶点存在，也就证明了任何地图中也总有边数是小于等于5的区域存在。
5、你所得到的两个结论：点数×3-棱数=6和点数×2-面数=4。本来图论中就有在v≥3时，e≤3v－6，f≤2v－4和2e≥3f的关系（等号对应的是极大平面图,不等号对应的是非极大平面图）。该关系的来源是：顶点数分别是v＝3，4，5，……的极大平面图（因为v＜3时不能构成极大平面图）的边数分别是e＝3，6，9，……，面数分别是f＝2，4，6，……，并有e＝3v－6，f＝2v－4和2e＝3f的关系。又因为同顶点数的非极大平面图的边数一定比极大平面图的边数少，所以就有e≤3v－6，f≤2v－4和2e≥3f的关系。
6、用e＝3v－6减去f＝2v－4得：e－f＝3v－6－（2v－4）＝v－2，即e－f＝v－2，整理后得v＋f＝e＋2，这就是平面图的欧拉公式，把式中的字母改成大写时，就是多面体的欧拉公式V＋F＝E＋2。这就是平面图和多面体的欧拉公式的导出方法。
从这时看，你是用欧拉公式导出了e＝3v－6和f＝2v－4，而我这里则是用e＝3v－6和f＝2v－4导出了欧拉公式。我认为我的方向是对的。因为我的证明是从图的三要素的两两间的关系出发，导出了三要素三者之间的关系——欧拉公式；而你是从图的三要素三者间的关系——欧拉公式——出发，导出了不完全的两两要素间的关系。但你证明的出发点——欧拉公式的来历是不明的。
请提出意见！
雷  明
二○一九年十一月一日于长安
他来信后，我又回复：
焦永溢朋友：
1、我说了平面和球面的亏格都是０，平面图和球面图就是一回事。平面图和球面图中根本就不存在顶点度全是６的图。
2、不管你是怎么推导出来的公式，但你的推导过程太复杂了。我推导的那两个和你的两个公式相同的公式的推导过程是不是比你的推导过程简单呢？
3、可以说，平面图的欧拉公式与多面体的欧拉公式是相同的，只是把字母分别用大写与小写表示罢了。
4、我没有说你的公式早就存在，而是说你的公式我是从具体极大图的顶点与边和面的关系中推导出来的。
5、两个公式，你可以推导出来，我也可以推导出来，可能别人也是可以推导出来的。怎么能说欧拉公式是用了你的公式推导出来的呢？
6、因为以前并无推导欧拉公式的例子，认为欧拉公式只是一个经验公式，所以人们在用各种方法证明欧拉公式的正确性。
7、现在我可以用公式推导的办法推导出欧拉公式，应该说欧拉公式更是正确的，推导出来的正确东西是不再需要证明了。
8、欧拉之前有没有这两个公式，我不知道，但以前是没有用这两个公式推导出欧拉公式的例子的。
9、你说:“在任何简单多面体上，每增加一个点，就会增加一条棱线，每增加一个面，也会增加一条线，棱的增加数一定是点与面增加数的和。”这就是推导欧拉公式的过程吗？在多面体上，增加一个顶点，增加在那里，你说清楚了没有？增加一个面，是怎么增加的，说清楚了吗？增加一个顶点，又怎么会增加一条棱线呢？增加一个面，又怎么会增加一条线呢？我看你这个方法有点象后人证明欧拉公式的方法。
10、看来,你还是只导出了一个公式,然后用欧拉公式导出另一个公式的。而我却是一次导出了两个公式，用这两个公式再导出了欧拉公式的。你是以欧拉公式成立为前提的，而我是最后得到了欧拉公式的。你说说，那一个更先进呢？
雷  明
二○一九年十一月一日于长安
焦永溢朋友：
怎么能这样说呢！你能导出来，我就不能用别的方法导出来吗？而且我用这个方法是在三十年前就导出了这两个公式的。可能还有别人会用别的方法也是可以导出的！我的公式推导过程与欧拉公式没有任何关系，是最后得到了欧拉公式；而你的导出中是用了欧拉公式的，你昨天的信中不是明明说你在最后导出第二个公式时是用了欧拉公式吗？你把你的论文再好好的看一下，看是不是这样的。即就是这两个公式是你的，又能怎么样呢，是你的就是你的，我不想争这个“所谓的第一”，从来也没有这种想法，有什么意思呢？如果你能把四色问题解决，这还有点争头！我的观点是，我用以证明四色猜测的方法，如果有人能把它发表出去，得到数学界的承认，我谢天谢地。我有没有名都是无所谓的，只要对科学发展能作出贡献就心满意足了！要那个名干什么呢？让后人去评说吧！看来你是一个非常注意名气的人。
再见！2019,11,1，
四色定理是亏格为1的平面（球面）上的定理，即任意平面图或地图着色时，最多四种颜色就够用了。你的三色定理是在什么亏格的曲面上的着色定理呢？说说看看。乱用名词，说明你对着色、色数与曲面亏格间的关系还是不懂的。2019,11,1，
平面与球面的亏格都是０，从曲面的角度上去看，二者是相同的曲面。无所谓你是在平面上还是在球面上证明的问题。球面上的四色问题与平面上的四色问题是一回事。2019,11,1，

雷  明
二○一九年十一月二日整理于长安

注：此文已于二○一九年十一月三日在《中国博士网》上发表过，网址是：

雷明85639720

朱明君朋友，你只画了一个图，也没有文字说明，是什么意思呢？是要我作什么工作呢？这个图肯定是一个四色图，包括最外面的无限面在内。我已经着过色了。如果要时，我可给你发上来看一看．

雷明85639720

1、这里每种颜色只用了两次，还要用你说吗？我的着色是对还是错，你还没有表态呢？每种颜色只用了两次，你能看出来，别人也是能看出来的。
2、你这个“N1=5，N2=2，N3=1，X=8，X/2^1=4,很有意思，请一讲，为什么是这样？请再多举几个例子。
3、x是总的区域数，但可以是任意的，难道任何一个X，都有X/2^1=4吗？
4、难道这就是你对四色猜测的证明吗？
5、请好好的聊聊。