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ΔABC 的 3 个角是 40°,60°,80° ,在 ΔABC 内找一点 P,使 9 个角的度数都是整数

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发表于 2019-11-4 12:27 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 luyuanhong 于 2019-11-4 12:40 编辑

三角形的 3 个角是40°,60°,80°,
在三角形内部找一个点 P,满足这 9 个角都是整数度数。
发表于 2019-11-4 12:51 | 显示全部楼层
本帖最后由 luyuanhong 于 2019-11-4 13:54 编辑

  ΔABC 的 3 个角是 40°,60°,80° ,在 ΔABC 内找一点 P,使 9 个角的度数都是整数。

  不妨将 P 点取为 ΔABC 的内心,因为它是角平分线 AP,BP,CP 的交点,所以有

   ∠PAC=∠PAB=40°/2=20° ,∠PBA=∠PBC=60°/2=30° ,∠PCB=∠PCA=80°/2=40° 。

               ∠APB=180°-∠PAB-∠PBA=180°-20°-30°=130° ,

               ∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-30°-40°=110° ,

               ∠CPA=180°-∠PCA-∠PAC=180°-40°-20°=120° 。
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发表于 2019-11-4 18:05 | 显示全部楼层
ΔABC 的 3 个角是正 整数,在 ΔABC 内找一点 P,组成3个三个三角形,使 9 个角的度数都是整数计算机解;
QQ图片20191012203533.png

三角形整数角度.rar

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 楼主| 发表于 2019-11-5 05:14 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2019-11-5 05:16 编辑
图老师3 发表于 2019-11-4 18:05
ΔABC 的 3 个角是正 整数,在 ΔABC 内找一点 P,组成3个三个三角形,使 9 个角的度数都是整数计算机解;

图老师!我只找到 5 个,漏了很多。
题  ΔABC 的 3 个角是 40°,60°,80° ,在 ΔABC 内找一点 P,使 9 个角的度数都是整数。
5 个基本解(通过旋转,翻转,旋转加翻转后相同的算一个)。
第 1 个基本解:sin05°sin40°sin65°=sin35°sin20°sin15°
第 2 个基本解:sin10°sin20°sin70°=sin30°sin40°sin10°
第 3 个基本解:sin10°sin40°sin50°=sin30°sin20°sin30°
第 4 个基本解:sin10°sin50°sin30°=sin30°sin10°sin50°
第 5 个基本解:sin20°sin30°sin40°=sin20°sin30°sin40°
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 楼主| 发表于 2019-11-5 20:01 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2019-11-5 05:14
图老师!我只找到 5 个,漏了很多。
题  ΔABC 的 3 个角是 40°,60°,80° ,在 ΔABC 内找一点 P,使  ...

题  ΔABC 的 3 个角是 40°,60°,80° ,在 ΔABC 内找一点 P,使 9 个角的度数都是整数。
5 个基本解(通过旋转,翻转,旋转加翻转后相同的算一个)。
第 1 个基本解:sin05°sin40°sin65°=sin35°sin20°sin15°
第 2 个基本解:sin10°sin20°sin70°=sin30°sin40°sin10°
第 3 个基本解:sin10°sin40°sin50°=sin30°sin20°sin30°
第 4 个基本解:sin10°sin50°sin30°=sin30°sin10°sin50°
第 5 个基本解:sin20°sin30°sin40°=sin20°sin30°sin40°
会有第 6 个解吗?!!
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发表于 2019-11-6 00:41 | 显示全部楼层
A_40;B_60;C_80:
alpha,beta,gamma:[(1, 41, 39), (2, 42, 38), (3, 43, 37), (4, 44, 36), (5, 40, 65), (5, 45, 35), (6, 46, 34), (7, 47, 33), (8, 48, 32), (9, 49, 31), (10, 20, 70), (10, 40, 50), (10, 50, 30), (11, 51, 29), (12, 52, 28), (13, 53, 27), (14, 54, 26), (15, 55, 25), (16, 56, 24), (17, 57, 23), (18, 58, 22), (19, 59, 21), (20, 30, 40), (21, 1, 59), (22, 2, 58), (23, 3, 57), (24, 4, 56), (25, 5, 55), (26, 6, 54), (27, 7, 53), (28, 8, 52), (29, 9, 51), (30, 10, 50), (30, 20, 30), (30, 40, 10), (31, 11, 49), (32, 12, 48), (33, 13, 47), (34, 14, 46), (35, 15, 45), (35, 20, 15), (36, 16, 44), (37, 17, 43), (38, 18, 42), (39, 19, 41)]
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 楼主| 发表于 2019-11-6 13:09 | 显示全部楼层
图老师 发表于 2019-11-6 00:41
A_40;B_60;C_80:
alpha,beta,gamma:[(1, 41, 39), (2, 42, 38), (3, 43, 37), (4, 44, 36), (5, 40, 65),  ...

谢谢图老师!
真还就是这 5 个基本解!
不合题意: 公共边(PA,PB,PC),两条长度不一样。
24——45:通过旋转加翻转后相同的。
1=1, 41, 39=不合题意
2=2, 42, 38=不合题意
3=3, 43, 37=不合题意
4=4, 44, 36=不合题意
5=5, 40, 65=第 1 个基本解
6=5, 45, 35=不合题意
7=6, 46, 34=不合题意
8=7, 47, 33=不合题意
9=8, 48, 32=不合题意
10=9, 49, 31=不合题意
11=10, 20, 70=第 2 个基本解
12=10, 40, 50=第 3 个基本解
13=10, 50, 30=第 4 个基本解
14=11, 51, 29=不合题意
15=12, 52, 28=不合题意
16=13, 53, 27=不合题意
17=14, 54, 26=不合题意
18=15, 55, 25=不合题意
19=16, 56, 24=不合题意
20=17, 57, 23=不合题意
21=18, 58, 22=不合题意
22=19, 59, 21=不合题意
23=20, 30, 40=第 5 个基本解
24=21, 1, 59 =22
25=22, 2, 58 =21
26=23, 3, 57 =20
27=24, 4, 56 =19
28=25, 5, 55 =18
29=26, 6, 54 =17
30=27, 7, 53 =16
31=28, 8, 52 =15
32=29, 9, 51 =14
33=30, 10, 50=13
34=30, 20, 30=12
35=30, 40, 10=11
36=31, 11, 49=10
37=32, 12, 48=9
38=33, 13, 47=8
39=34, 14, 46=7
40=35, 15, 45=6
41=35, 20, 15=5
42=36, 16, 44=4
43=37, 17, 43=3
44=38, 18, 42=2
45=39, 19, 41=1
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 楼主| 发表于 2019-11-6 19:05 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2019-11-6 13:09
谢谢图老师!
真还就是这 5 个基本解!
不合题意: 公共边(PA,PB,PC),两条长度不一样。

谢谢图老师!
真还就这 5 个基本解!
不合题意: 公共边(PA,PB,PC),两条长度不一样。
譬如:9=8, 48, 32=不合题意,用这样的方法试一试。
1,先找角度。
∠PAB=8°,∠PAC=32°,
∠PCA=48°,∠PCB=12°,
∠PBC=32°,∠PBA=48°,
∠PCB=136°,∠PBA=124°,∠PAC=100°,
2,再找长度。
CB=sin40,BA=sin60,AC=sin80
在三角形PCB中,
CB=sin136*sin40/sin136,PC=sin32*sin40/sin136,PB=sin12*sin40/sin136
在三角形PBA中,
BA=sin124*sin60/sin124,PB=sin8*sin60/sin124,PA=sin48*sin60/sin124
在三角形PAC中,
AC=sin100*sin80/sin100,PA=sin48*sin80/sin100,PC=sin32*sin80/sin100
3,比较一下,两条长度不一样就出来了。
PA:sin48*sin60/sin124≠sin48*sin80/sin100
PB:sin12*sin40/sin136≠sin8*sin60/sin124
PC:sin32*sin40/sin136≠sin32*sin80/sin100
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 楼主| 发表于 2019-11-6 20:10 | 显示全部楼层
luyuanhong 发表于 2019-11-4 12:51
题  ΔABC 的 3 个角是 40°,60°,80° ,在 ΔABC 内找一点 P,使 9 个角的度数都是整数。

解  不妨将  ...

题  ΔABC 的 3 个角是整数度数 ,在 ΔABC 内找一点 P,使 9 个角的度数都是整数。
P 点不在 ΔABC 的内心也是可以的,譬如:
我们有:sin2a=2*sina*cosa,变化一下
(1/2)*sin2a=sina*cosa
sin30*sin2a=sina*sin(90-a)
sin30*sin2a*sin(30-a)=sin(30-a)*sina*sin(90-a)
注意:这6个角度,30+2a+30-a+30-a+a+90-a=180
可以有以下6个模块
sin30*sin2a*sin(30-a)=sin(30-a)*sina*sin(90-a)
sin30*sin2a*sin(30-a)=sin(30-a)*sin(90-a)*sina
sin30*sin2a*sin(30-a)=sina*sin(30-a)*sin(90-a)
sin30*sin2a*sin(30-a)=sina*sin(90-a)*sin(30-a)
sin30*sin2a*sin(30-a)=sin(90-a)*sin(30-a)*sina
sin30*sin2a*sin(30-a)=sin(90-a)*sina*sin(30-a)
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 楼主| 发表于 2019-11-8 04:08 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2019-11-8 04:39 编辑

题  ΔABC 的 3 个角是整数度数 ,在 ΔABC 内找一点 P,使 9 个角的度数都是整数。

   我们用 A,B,C 表示 3 个角,用 θ1,θ2,θ3,θ4,θ5,θ6 表示 6 个内角,
   A+B+C=θ1+θ2+θ3+θ4+θ5+θ6=180°

一,平凡解=等号左边3个θ相加的和等于90°
   3种类型三角形有平凡解。
1,顶角是偶数的等腰三角形有解:
   sinθ1*sinθ2*sinθ3=sinθ1*sinθ3*sinθ2
   A=sinθ1+sinθ1,B=C=sinθ2+sinθ3
2,3个角是偶数的三角形有解:
sinθ1*sinθ2*sinθ3=sinθ1*sinθ2*sinθ3
   A=sinθ1+sinθ1,B=sinθ2+sinθ2,C=sinθ3+sinθ3
3,锐角三角形有解:
sinθ1*sinθ2*sinθ3=sinθ2*sinθ3*sinθ1
   A=sinθ1+sinθ2,B=sinθ2+sinθ3,C=sinθ3+sinθ1

二,非平凡解=等号左边3个θ相加的和不等于90°
   362个三角形有非平凡解解,
   其中等腰三角形46个,非等腰三角形316个
   sinθ*sinθ*sinθ=sinθ*sinθ*sinθ
   基本算式只有123(?)个,696个变化



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