不用计算器，比较 (100/99)^100、(101/100)^100 和 e 的大小

denglongshan

这是邻居儿子高中复习卷的一道题，显然（100/99）^100和e难一眼看出来，其它两对很容易 ，

他问了许多同志都没有找到答案，已经困惑了三年多。

denglongshan

考试中当然不能借助计算器，没有更好的办法，只好认为这题用于高中复习明显是不妥当的。

elim

(101/100)^100 < e < (100/99)^100.
因为 {(1+1/n)^n} 是递增序列，{(1+1/m)^(m+1)} 是递减序列，它们都收敛到 e.

关于前一序列的递增性，几乎所有分析教程都有证明．至于后一序列的递减性，研究其相邻两项的比．

图老师

1. (1+1/99)^100>(1+1/100)^100；
2.对(1+1/x)^x求导，证明当x>0时一阶导>0恒成立，即e>(1+1/100)^100；
3.对(1+1/(x-1))^x求导，证明当x>0时一阶导<0恒成立；
4. lim(x->+∞)(1+1/(x-1))^x=lim(x->+∞)e*(1+1/(x-1))=e，即(1+1/99)^100>e；
5综上，(1+1/99)^100>e>(1+1/100)^100
:lol

denglongshan

谢谢两位老师