y=x^6-10x^5+29x^4-4x^3+ax^2 与直线 L 相切于三点，其余都在 L 上方，求切点 x 坐标

wintex

請問幾何

luyuanhong

Future_maths

函数不一定有三个二重根，因为可以有复数根。

luyuanhong

Future_maths 发表于 2019-11-21 12:47
函数不一定有三个二重根，因为可以有复数根。

首先，在单重实根处，函数曲线穿过 x 轴，不可能是切点。

所以，在与 x 轴的切点处，至少是二重实根或更多重实根。

现在题目告诉我们有 3 个切点，所以至少要有 3 个二重实根。也就是说，

函数至少有 3×2=6 个实根。如果切点是更多重根，则要有超过 6 个根。

而事实上，这函数是 6 次多项式，所以它最多只可能有 6 个实根。

这样判断下来，函数必定恰好只有 6 个实根，而且是 3 个二重实根。

Future_maths

luyuanhong 发表于 2019-11-21 13:28
首先，在单重实根处，函数曲线穿过 x 轴，不可能是切点。

所以，在与 x 轴的切点处，至少是二重实根或 ...

谢谢陆教授指点！

wintex

Future_maths 发表于 2019-11-21 13:56
谢谢陆教授指点！

把 y = bx + c 想成 x 軸
y = x^6 - 10x^5 + 29x^4 + kx^3 + ax^2 恰有三組等根
由根與係數，所求 = 10/2 = 5

請問陸老師，是什麼意思，為何可以這樣做？為何 10/2

luyuanhong

wintex 发表于 2019-11-23 00:42
把 y = bx + c 想成 x 軸
y = x^6 - 10x^5 + 29x^4 + kx^3 + ax^2 恰有三組等根
由根與係數，所求 = 10 ...

请参看我在第 2 楼中的解答。

我在解答中，通过前面一系列推导，得到

             Γ＇：y=(x^3-5x^2+2x+8)^2  。

其中 x^2 的系数 -5 ，是通过原来式子中 x^5 的系数 -10/2=-5 得到的。

又因为 x^3-5x^2+2x+8=(x-x1)(x-x2)(x-x3) ，由根与系数的关系可知

                 x1+x2+x2=5  。

因为 5 是通过 10/2 得到的，所以上式也就是

             x1+x2+x3=10/2=5 。