命题数学和命题代数

珠穆亚纳

命题数学和命题代数
                            之一
    命题在人们的心目中有一个普遍的认识：在各个领域都有普遍的应用。
    在数学中也同样，但是命题是数学理性推导时随时应用的概念，把命题和数学直接糅合在一起，似乎有点难以理解。
    但是，如果我们这样思考：算术时，我们只用数字来表达数学，我们认为它是数学。在代数中，我们开始用字母表示数，具有了明显的进一步的概括性、一般性、基础性。在几何和高等数学中，字母不但可以代替数，还表达点、线、面、体以及其中的动态变化。那么，自然而然的，我们也可以用字母来代替命题。这就产生了命题数学的研究方式——命题代数。而且由于命题本身的更加一般性、基础性的特点，命题代数的推理计算的方式和结论也更加基础。
    在数学本领域的文献中，关于命题代数的计算表达方式方面，始终存在两种方式，这也是这个领域目前存在的一个缺陷。命题本身存在真或假、对与错等等结论，所以更一般而且基础。而对于许许多多命题结合在一起所产生的“复合命题”，最终的结论也是真与假。那么，对于复合命题的判断就需要一些必要的方法——计算法则。关于命题计算表达我所知道的有两种方式，分别表示了对命题的使用方式：合取和析取。
    那么，命题数学的概念是什么？就是研究命题是与否，真与假以及多个命题复合形成的命题的真与假、是与否的数学。
    如果最终命题得出“真”结论，用合取方式就是：其中所有的命题都真，如果其中有一个以上“假”命题，总命题必为假。而析取则是：在多个命题中，只要有一个命题是“真”，那么复合后的最终命题就是“真”。命题代数的结果只有0和1，0表示“假”、“错误”、“不成立”的含义；1则表示“真”“成立”“正确”的含义。
    在研究这部分概念时，各种数学文献中产生了两种表达方式：
    方式1：用符号∧、∨来表示。
    其中∧表示合取，例如这段话：夜里11点钟∧天上布满乌云∧我走在密林中=伸手不见五指。用我们平时的语言来说就是：夜里11点钟，天上布满乌云，当时我走在密林中，所以伸手不见五指。显然这个结论为真。
    但是如果命题中加了一个条件：夜里11点钟∧天上布满乌云∧我走在密林中∧看见一个不明发光的飞行物照亮了树林=伸手不见五指。那么，结论“伸手不见五指”就是假的。这个事例说明合取的含义。
    析取的概念：∨表示“或者”。例如：
    A小姐家在广州，家中接到了一位朋友的电话，问：她在家不？接电话的先生没有直接回答，他说：
A小姐现在可能去了北京，也可能在上海，还曾经说要到澳大利亚悉尼见一位朋友，也计划到巴黎签署一份合同，并计划去俄罗斯接一位姐妹。其中只有一个去向是真的。用命题代数表示这个答案就是：
    A小姐可能在北京∨上海∨澳大利亚∨巴黎∨俄罗斯=不在家。这里符号∨可以理解为“或者”。最终的结论是，A小姐现在不在广州的家中。
    方式2：而另一种表达方式干脆把符号∧（而且或并且）用X或*（乘号）来表示，因为，对于一个乘式来说，如果在f=A*B*C*D*E……中，任意一个A或B……为0，则f=0。0表示“否”“假”、“错误”“不成立”。当且仅当所有A、B……等都为真（也可以说都为1）时，f=1。
    例如这样一段描述：夜里11点钟，天上布满乌云，当时我走在密林中，所以伸手不见五指。现在可以认为是真实的。但是其中的描述如果做如下的细微改动：北京时间的夜里11点钟，天上布满乌云，当时我走在美国国家森林公园密林中，所以伸手不见五指。时间的明确加上空间位置确定……北京时间在美国这样的时空改变，结论显然是假的。
    方式2又把析取计算干脆用数学的+法来表达。例如f=A+B+C+……，那么，只要A、B、C……其中之一为1，就结果为真，那么f=1。上面所列举的例子的最终答案可以表达成：A小姐可能在：北京+上海+澳大利亚+巴黎+俄罗斯=不在家，不在家的结论为真。
   
    在介绍这个领域具体概念的内容的使用方法之前，不妨先建议网友们共同探讨一些目前利用命题代数研究的问题：
    问题1、在3个纸桶中，各放了一个彩色球。已知球的颜色为：红、白、蓝。纸桶外面贴着标签，A桶上标着：红；B桶上标着：非红；C桶上标着：非蓝。已知只有一个标签说的是正确的，那么，A、B、C桶里各是什么颜色的球？
    问题2、若A无罪，则B与C都有罪；
           要么A无罪，要么B有罪；
           要么B无罪，要么C无罪。问谁有罪？
    问题3、拉姆齐数  R2（3∧3）=9，也可表为R2（3∧(3∨3)）=9，请利用定理R2（3∨3）=6来证明这个结论。本题具体内容请参阅我的《……谈拉姆齐理论》系列。
待续

wangyangkee

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门派: 公理化的中国道家

自信、自强、自明、……，民族才会昌盛！（公理化的中国道家） 这里特别强调一下“自明”，解释是“知人者智、自知者明”的“明”。