某条地铁线上由于增设了多于一个的新车站，必须新增 52 种新车票，问现有几个车站？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2014/01/26 09:44pm 第 2 次编辑]

首先确定车站数目 n 与车票种数 a(n) 之间的关系：
a(n) = a(n-1) + 2(n-1)
此后就好办了，编程算呗。
n      a(n)   a(n)-a(n-1)   a(n)-a(n-2)   a(n)-a(n-3)   a(n)-a(n-4)   a(n)-a(n-5)
-------------------------------------------------------------------------------------
  1       0
  2       2         2
  3       6         4             6
  4       12        6             10            12
  5       20        8             14            18            20
  6       30        10            18            24            28            30
  7       42        12            22            30            36            40
  8       56        14            26            36            44            50
  9       72        16            30            42          【52】          60
  10      90        18            34            48            60            70
  11      110       20            38            54            68            80
  12      132       22            42            60            76            90
  13      156       24            46            66            84            100
  14      182       26            50            72            92            110
  15      210       28            54            78            100           120
  16      240       30            58            84            108           130
  17      272       32            62            90            116           140
  18      306       34            66            96            124           150
  19      342       36            70            102           132           160
  20      380       38            74            108           140           170
  21      420       40            78            114           148           180
  22      462       42            82            120           156           190
  23      506       44            86            126           164           200
  24      552       46            90            132           172           210
  25      600       48            94            138           180           220
  26      650       50            98            144           188           230
  27      702     【52】          102           150           196           240
  28      756       54            106           156           204           250
  29      812       56            110           162           212           260
  30      870       58            114           168           220           270
---------------------------------------------------------------------------------------------
可见原先的车站数是 5， 现在增加到 9 个车站，需要多印 52 种车票。
上表中第三列也有一个 52，但是车站是由 26 个增加到 27 个，不是“多于 1 个”，故不合题意。

luyuanhong

谢谢楼上 天山草 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

drc2000

某条地铁线上由于增设了多于一个的新车站，必须新增 52 种新车票，问现有几个车站？
解：设现在有x个车站，依照题意可得
P(x，2)-P(x-1，2)=52，X∈{大于1的整数}(其中P(x,2)表示x个元素中取两个元素的排列的个数)

既:x(x-1)/2-(x-1)(x-2)/2=52
它实际上是一元一次方程!
x=53

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2014/01/27 02:04pm 第 1 次编辑]

下面引用由drc2000在 2014/01/27 00:17pm 发表的内容：
某条地铁线上由于增设了多于一个的新车站，必须新增 52 种新车票，问现有几个车站？
解：设现在有x个车站，依照题意可得
P(x，2)-P(x-1，2)=52，X∈{大于1的整数}(其中P(x,2)表示x个元素中取两个元素的排列的个数)
既:x(x-1)/2-(x-1)(x-2)/2=52
它实际上是一元一次方程!
x=53

注意：题目里说的是“增设了多于一个的新车站”，即增设了不止一个车站，
并不是“多增设了一个新车站”。

ataorj

设这条地铁线上原有n个车站,新增m个车站.
单向:mn+(m-1+1)(m-1)/2=52/2
2mn+(m-1+1)(m-1)=52
2mn+m^2-m=52
m(2n+m-1)=52
m=4
2n+m-1=13
n=5

drc2000

下面引用由luyuanhong在 2014/01/27 02:03pm 发表的内容：
注意：题目里说的是“增设了多于一个的新车站”，即增设了不止一个车站，
并不是“多增设了一个新车站”。

谢谢教授提醒。