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Φ(m)函数的应用:广义哥德巴赫猜想

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发表于 2019-11-27 16:07 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 discover 于 2019-11-27 16:16 编辑

Φ(m)函数的应用:广义哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想:对于任意大于2的正整数n,偶数2n都可表示为二个素数之和。
即:对于任意n∈N(N≥3),存在 p, q∈P (P为素数),使得2n=p+q.
广义哥德巴赫猜想:对于任一充分大的偶数2n,若n对于模m的余数为a (a,m互素),则偶数2n可表示为二个对于模m的余数为a的素数之和。
即:若n≡a (mod m) ( n为充分大的正整数),且(a,m)=1,存在 p, q∈P (P为素数),p≡q≡a (mod m),使得2n=p+q.

设G(x)为偶数x可表示为二个素数之和的表示数即偶数x的 (1+1) 表示数,
G(a, m, x)为偶数x可表示为二个对于模m的余数为a的素数之和的表示数,
Φ(m)为偶数x的 (1+1) 表示数对于模m的分类数,则:
        若 m=2^n, G(a, m, x) ~1/Φ(m)×G(x) ~1/φ(m)G(x) (~为等价符号)
        若m为偶数, G(a, m, x) ~1/Φ(m)×G(x), Φ(m)=m/2Π(1-2/p) (p为m的奇素因子)
        若 m 为奇数, G(a, m, x) ~1/Φ(m)×G(x), Φ(m)=mΠ(1-2/p) (p为m的奇素因子)
其中,G(x) ~2C*Π(p-1)/(p-2)*x/(lnx)^2  (p 为x的奇素因子. C =Π(1-1/(p-1)^2 ),p遍历所有奇素数.)
显然,当m=2,m=3 或m=6 时,G(a, m, x)与G(x)等价。
 楼主| 发表于 2019-12-3 18:10 | 显示全部楼层
天山草,大傻888888: 梅腾斯公式推广

在数论中,对偶数m(m≥6),函数Φ(m)是小于m的正奇数中q与m互质且q-2k或q+2k(k≥1)与m互质的正奇数q的数目。
显然,q<m,q-2k不一定为正整数或q+2k不一定小于m。
若k=2^n,Φ(m)=m/2Π(1-2/p) (Π为连乘积符号,p为m的奇素因子)

例如:
m=210,2k=2或2k=4或2k=8或2k=16或2k=32或2k=2^n,Φ(m)=m/2Π(1-2/p)=15,
q不超过210与210互质的奇数对(q,q+2)个数为15,分别为:
(11 13),(17 19),(29 31),(41 43),(59 61),(71 73),(101 103),(107 109),
(137 139),(149 151),(167 169),(179 181),(191 193),(197 199),(209 211).

q不超过210与210互质的奇数对(q,q+4),奇数对(q,q+8),奇数对(q,q+16),奇数对(q,q+32),奇数对(q,q+2^n)个数为15.

问:
m/2×(1-1/3)Π(1-3/p)=m/3×Π(1-3/p) (Π为连乘积符号,p为大于3的m的奇素因子)筛出的是什么数?
以m=210说明!
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 楼主| 发表于 2019-11-27 16:22 | 显示全部楼层
本帖最后由 discover 于 2019-11-27 17:06 编辑

欧拉φ(m)函数
      在数论中,对正整数m,欧拉(Euler)函数φ(m)是小于m的正整数中与m互质的数的数目。
φ(m)= mΠ(1- 1/p) (Π为连乘积符号,p为m的素因子)

Φ(m)函数的定义与性质

1.   在数论中,对偶数m(m≥6),函数Φ(m)是小于m的正奇数中q与m互质且q-2k或q+2k(k≥1)与m互质的正奇数q的数目。
显然,q<m,q-2k不一定为正整数或q+2k不一定小于m。
若k=2^n,Φ(m)=m/2Π(1-2/p) (Π为连乘积符号,p为m的奇素因子)
若k与m的奇素因子不同,Φ(m)=m/2Π(1-2/p) (Π为连乘积符号,p为m的奇素因子)
若k与m存在共有的奇素因子,Φ(m)=m/2Π(1-2/p)Π(p-1)/(p-2)  
(Π为连乘积符号,Π(1-2/p),p为m的奇素因子,Π(p-1)/(p-2) ,p为k与m的共有奇素因子)
若k与m的奇素因子相同,Φ(m)=φ(m)
对于不同的2k,如果二者之差为m的倍数,Φ(m)相等,q相同。
若m=2^n,Φ(m)=φ(m) =m/2.

2.   若m为奇数(m≥3),函数Φ(m)是小于m的正整数中q与m互质且q-k或q+k(k≥1)与m互质的正整数q的数目。
显然,q<m,q-k不一定为正整数或q+k不一定小于m。
若k=2^n,Φ(m)=mΠ(1- 2/p) (Π为连乘积符号,p为m的奇素因子)
若k与m的奇素因子不同,Φ(m)=mΠ(1- 2/p) (Π为连乘积符号,p为m的奇素因子)
若k与m存在共有的奇素因子,Φ(m)=mΠ(1- 2/p)Π(p-1)/(p-2)
(Π为连乘积符号,Π(1-2/p),p为m的奇素因子,Π(p-1)/(p-2),p为k与m的共有奇素因子)
若k与m的奇素因子相同,Φ(m)=φ(m)
对于不同的k,如果二者之差为m的倍数,Φ(m)相等,q相同。

3.  在数论中,对偶数m(m≥6),函数Φ(m)也可表示小于m的正奇数中q与m互质且m+2k-q(k≥1)与m互质的正奇数q的数目。
显然,q<m,m+2k-q不一定小于m。
若k=2^n,Φ(m)=m/2Π(1- 2/p) (Π为连乘积符号,p为m的奇素因子)
若k与m的奇素因子不同,Φ(m)=m/2Π(1-2/p) (Π为连乘积符号,p为m的奇素因子)
若k与m存在共有的奇素因子,Φ(m)=m/2Π(1-2/p)Π(p-1)/(p-2)
(Π为连乘积符号,Π(1-2/p),p为m的奇素因子,Π(p-1)/(p-2),p为k与m的共有奇素因子)
若k与m的奇素因子相同,Φ(m)=φ(m)
对于不同的2k,如果二者之差为m的倍数,Φ(m)相等,q相同。
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 楼主| 发表于 2019-11-27 16:27 | 显示全部楼层
本帖最后由 discover 于 2019-12-3 15:49 编辑

举例

m=210,2k=2或2k=4或2k=8或2k=16或2k=32或2k=2^n,Φ(m)=m/2Π(1-2/p)=15,
q不超过210与210互质的奇数对(q,q+2)个数为15,分别为:
(11 13),(17 19),(29 31),(41 43),(59 61),(71 73),(101 103),(107 109),
(137 139),(149 151),(167 169),(179 181),(191 193),(197 199),(209 211).

q不超过210与210互质的奇数对(q,q+4),奇数对(q,q+8),奇数对(q,q+16),奇数对(q,q+32),奇数对(q,q+2^n)个数为15.


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 楼主| 发表于 2019-11-27 16:35 | 显示全部楼层
主贴中:显然,当m=2,m=3 或m=6 时,G(a, m, x)与G(x)等价。
即:当m=2,m=3 或m=6 时,广义哥德巴赫猜想即哥德巴赫猜想。哥德巴赫猜想是广义哥德巴赫猜想的特例。
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 楼主| 发表于 2019-11-27 17:33 | 显示全部楼层
本帖最后由 discover 于 2019-11-27 17:35 编辑

Φ(m)函数的定义与性质1
若k=2^n,Φ(m)=m/2Π(1-2/p) (Π为连乘积符号,p为m的奇素因子)
此公式即孪生素数二筛公式的起源。

Φ(m)函数的定义与性质3
若k=2^n,Φ(m)=m/2Π(1- 2/p) (Π为连乘积符号,p为m的奇素因子)
若k与m存在共有的奇素因子,Φ(m)=m/2Π(1-2/p)Π(p-1)/(p-2)
(Π为连乘积符号,Π(1-2/p),p为m的奇素因子,Π(p-1)/(p-2),p为k与m的共有奇素因子)
此二式即哥猜二筛公式的起源。
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 楼主| 发表于 2019-11-27 20:14 | 显示全部楼层
一句话否定二筛连乘积公式证哥猜
怎么证明二筛连乘积公式是哥猜(1+1)个数近似值?未经证明的结论无论怎样加强和变形,都是无效证明!
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发表于 2019-11-28 06:38 | 显示全部楼层
discover 发表于 2019-11-27 12:14
一句话否定二筛连乘积公式证哥猜
怎么证明二筛连乘积公式是哥猜(1+1)个数近似值?未经证明的结论无论怎样 ...

你是没看明白加强倍数含量两筛法,哈哈
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 楼主| 发表于 2019-11-28 11:05 | 显示全部楼层
lusishun 发表于 2019-11-28 06:38
你是没看明白加强倍数含量两筛法,哈哈

数论入门了再发表意见!
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发表于 2019-11-28 14:23 | 显示全部楼层
数论也是数学,哥德巴赫猜想是数学问题,用数学方法证明了,不一定非用数论方法,事实上以前用数论的方法证明哥猜,没有成功,失败了。现在用初等方法成功了,不是吗。应该说用初等方法证明出来,更为珍贵,不是吗。
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