【用铁打的事实指出的错误。】解X^5-4X+2=0

风花飘飘

[这个贴子最后由风花飘飘在 2014/01/27 10:26pm 第 1 次编辑] [color=#006400]卡丹公式:在x^3+ax^2+bx+c=0中作变量代换x=y-a/3后化为y^3+py=q,(1),它不再含有平方项了.设y=m^(1/3)-n^(1/3),这里m和n是两个待定的数,则有y^3=m-n-3*(m*n)^(1/3)y=q-py.如果取m,n满足m-n=q,(m*n)^(1/3)=p/3,则对应的y值必满足(1)式.另一方面,由(m+n)^2=(m-n)^2+4*m*n=q^2+(4/27)p^3,可得m+n=[q^2+(4/27)p^3]^(1/2).所以,当取m=(1/2)q+[q^2+(4/27)p^3]^(1/2),n=-(1/2)+[q^2+(4/27)p^3]^(1/2)时,并令A=m^(1/3),B=n^(1/3)就得原三次方程的一个根x1=A-B-a/3,它的另两个根是x2=wA-(w^2)B-a/3,x3=(w^2)A-wB-a/3,这里w=[-1+3^(1/2)i]/2,w^2=[-1-3^(1/2)i]/2,其中i=(-1)^(1/2)是x^3-1=0的两个不是1的根. 费尔拉里公式:对于四次方程x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0,(2)引入参数t,经过配方化为[x^2+(1/2)ax+(1/2)t]^2=[(1/4)a^2-b+t]x^2+[(1/2)at-c]x+[(1/4)t^2-d],(3). 容易验证(2)与(3)式是一样的.为了保证(3)式右边是完全平方,可令它的判别式为0: [(1/2)at-c]^2-4[(1/4)a^2-b+t][(1/4)a^2-b+t]=0,即选择t是三次方程t^3-bt^2+(ac-4d)t-(a^2)d+4bd-c^2=0的任一根.把这个根作为(3)中的t值就有[x^2+(1/2)ax+(1/2)t]^2={[(1/4)a^2-b+t]^(1/2)x+[(1/4)t^2-d]^(1/2)}^2. 把右边移到左边并分解因式得到两个二次方程, x^2+{(1/2)a-[(1/4)a^2-b+t]^(1/2)}x+(1/2)t-[(1/4)t^2-d]^(1/2),x^2+{(1/2)a+[(1/4)a^2-b+t]^(1/2)}x+(1/2)t+[(1/4)t^2-d]^(1/2).. 我的思路: 从卡丹公式看,以X^5-4X+2=0为例,方程应去掉四次项,这里方程X^5-4X+2=0的四次项为0,不用去了. 卡丹公式可以把y=m^(1/3)-n^(1/3)设为y=m^(1/3)+n^(1/3),所以对于方程X^5-4X+2=0设X=a^(1/5)+b^(1/5)+c^(1/5)+d^(1/5). 从卡丹公式的后两个根看,为了X^5-4X+2=0的根满足的X= 2^(1/5)+ 4^(1/5)+ 8^(1/5) +16^(1/5)形式，另四个根应是X2=w[a^(1/5)]+(w^2)[b^(1/5)]+(w^3)[c^(1/5)]+(w^4)[d^(1/5)],X3=(w^2)[a^(1/5)]+(w^4)[b^(1/5)]+w[c^(1/5)]+(w^3)[d^(1/5)],X4=(w^3)[a^(1/5)]+w[b^(1/5)]+(w^4)[c^(1/5)]+(w^2)[d^(1/5)],X5=(w^4)[a^(1/5)]+(w^3)[b^(1/5)]+(w^2)[c^(1/5)]+w[d^(1/5)], 这里w=(1/4)(-1+5^(1/2)+{10+2[5^(1/2)]}i),w^2=(1/4)(-1-5^(1/2)+(1/2)[5^(1/2)-1]{10+2[5^(1/2)]}i),w^3=1/(w^2)=(1/4)(-1-5^(1/2)-(1/2)[5^(1/2)-1]{10+2[5^(1/2)]}i),w^4=1/w=(1/4)(-1+5^(1/2)-{10+2[5^(1/2)]}i),其中i=(-1)^(1/2).所以有 X^5=[a^(1/5)+b^(1/5)+c^(1/5)+d^(1/5)]^5 =5[(ad)^(1/5)+(bc)^(1/5)]X^3---------------------------------------------------------------------5*2*4^3=640 +5[(aac)^(1/5)+(ddb)^(1/5)+(bba)^(1/5)+(ccd)^(1/5)]X^2-------------------------------------------5*4*4^2=320 +5[(aaab)^(1/5)+(dddc)^(1/5)+(bbbd)^(1/5)+(ccca)^(1/5)+(abcd)^(1/5)-(aadd)^(1/5)-(bbcc)^(1/5)]X-----5*3*4=60 +a+b+c+d+5[(ad)^(1/5)-(bc)^(1/5)][(bba)^(1/5)+(ccd)^(1/5)-(aac)^(1/5)-(ddb)^(1/5)]--4,(4^5=640+320+60+4=1024) 从卡丹公式的m-n=q,(m*n)^(1/3)=p/3来看阿a+b+c+d ,(a*b*c*d)^(1/5)的值应不含五次根号,所以我们需要的项可以用a+b+c+d和(a*b*c*d)^(1/5)表示，最后去掉所需的项，就得到a+b+c+d和(a*b*c*d)^(1/5)的方程。我们先求出a+b+c+d, (a*b*c*d)^(1/5).然后回代,解出(a*d)^(1/5), (b*c)^(1/5) , a+d, b+c,进而解出a,b,c,d. 对于X^5+(A1)X^4+(B1)X^3+(C1)X^2+(D1)X+E1=0 令X=Y+t得 Y^5+(A2)Y^4+(B2)Y^3+(C2)Y^2+(D2)Y+E2=0两边除以Y^5和E2有 1/Y^5+[(D2)/ (E2)]( 1/Y^4) +[(C2) / (E2)](1/ Y^3)+ [(B2) /(E2)](1/Y^2)+[ (A2) /(E2)](1/Y)+1/E2=0 令1/Y=Z得Z^5+A*Z^4+B*Z^3+C*Z^2+D*Z+E=0 把Z换成X 对于X^5+A*X^4+B*X^3+C*X^2+D*X+E=0， 当X=Y+t，可得Y^5+(A1)Y^3+(B1)Y^2+(C1)Y+D1=0， 当X=(Y+t1)/(Y+t2)，可得 Y^5+{[(A+2B+3C+4D+5E)*(t2)+(5+4A+3B+2C+D)*(t1)]/[1+A+B+C+D+E]}Y^4+ {[(B+3C+6D+10E)*(t2)^2+(4A+6B+6C+4D)*(t1)*(t2)+(10+6A+3B+C)*(t1)^2]/[1+A+B+C+D +E]}*Y^3+{[(C+4D+10E)*(t2)^3+(3B+6C+6D)*(t1)*(t2)^2+(6A+6B+3C)*(t1)^2*(t2)+(10+4A +B)*(t1)^3]/[1+A+B+C+D+E]}Y^2+{[(D+5E)*(t2)^4+(2C+4D)*(t1)*(t2)^3+(3B+3C)*(t1)^2* (t2)^2+(4A+2B)*(t1)^3*(t2)+(5+A)*(t1)^4]/[1+A+B+C+D+E]}Y+{[E*(t2)^5+D*(t1)*(t2)^4+ C*(t1)^2*(t2)^3+B*(t1)^3*(t2)^2+A*(t1)^4*(t2)+(t1)^5]/[ 1+A+B+C+D+E]}=0 解方程组[(A+2B+3C+4D+5E)*(t2)+(5+4A+3B+2C+D)*(t1)]/[1+A+B+C+D+E=5, [(B+3C+6D+10E)*(t2)^2+(4A+6B+6C+4D)*(t1)*(t2)+(10+6A+3B+C)*(t1)^2]/[1+A+B+C+D +E]=10, 可得Y^5+(A2)*Y^2+(B2)*Y+C2=0， 当X=[1/t1]*[(Y+t2)/(Y+t3)]，可得 Y^5+{[*t3+<5+4A*(t1)+3B*(t1)^2 +2C*(t1)^3+D*(t1)^4>*t2]/[1+A*t1+B*(t1)^2+C*(t1)^3+D*(t1)^4+ E*(t1)^5]}Y^4+ {[*(t3)^2+<4A*(t1)+6B*(t1)^2+6C*(t1)^3+4D*(t1)^4>*t3*t2+<10+6A*(t1)+3B*(t1)^2+C*(t1)^3>*(t2)^2]/[1+A*t1+B*(t1)^2+C*(t1)^3+D*(t1)^4+E*(t1)^5]}Y^3+{[*(t3)^3+<3B*(t1)^2+6C*(t1)^3+6D*(t1)^4>*(t3)^2*t2+<6A*(t1)+6B*(t1)^2+3C*(t1)^3>*t3*(t2)^2+<10+4A*(t1)+B*(t1)^2>* (t2)^3]/[1+A*t1+B*(t1)^2+C*(t1)^3+D*(t1)^4+E*(t1)^5]}Y^2+{[* (t3)^4+<2C*(t1)^3+4D*(t1)^4>*(t3)^3*t2+<3B*(t1)^2+3C*(t1)^3>*(t3)^2*(t2)^2+<4A*(t1)+2B*(t1)^2>*t3*(t2)^3+<5+A*t1>*(t2)^4]/[1+A*t1+B*(t1)^2+C*(t1)^3+D*(t1)^4+ E*(t1)^5]}Y+{[E*(t3)^5*(t1)^5+D*(t3)^4*(t2)*(t1)^4+C*(t3)^3*(t2)^2*(t1)^3+B*(t3)^2*(t2)^3*(t1)^2+A*t3*(t2)^4*t1+(t2)^5]/[1+A*t1+B*(t1)^2+C*(t1)^3+D*(t1)^4+ E*(t1)^5]}=0 解方程组 [*t3+<5+4A*(t1)+3B*(t1)^2 +2C*(t1)^3+D*(t1)^4>*t2]/[1+A*t1+B*(t1)^2+C*(t1)^3+D*(t1)^4+ E*(t1)^5]=5, [*(t3)^2+<4A*(t1)+6B*(t1)^2+6C*(t1)^3+4D*(t1)^4>*t3*t2+<10+6A*(t1)+3B*(t1)^2+C*(t1)^3>*(t2)^2]/[1+A*t1+B*(t1)^2+C*(t1)^3+D*(t1)^4+E*(t1)^5]=10, [*(t3)^3+<3B*(t1)^2+6C*(t1)^3+6D*(t1)^4>*(t3)^2*t2+<6A*(t1)+6B*(t1)^2+3C*(t1)^3>*t3*(t2)^2+<10+4A*(t1)+B*(t1)^2>* (t2)^3]/[1+A*t1+B*(t1)^2+C*(t1)^3+D*(t1)^4+E*(t1)^5]=10, 先两两去掉t1项，得到3个t2和t3的方程，再两两去掉t2项，得到3个t3的方程，再两两去掉t3的高次项，得到唯一的t3的方程。 解X^5-4X+2=0 设X=a^(1/5)+b^(1/5)+c^(1/5)+d^(1/5) 有X^5=[a^(1/5)+b^(1/5)+c^(1/5)+d^(1/5)]^5 =5[(ad)^(1/5)+(bc)^(1/5)]X^3 +5[(aac)^(1/5)+(ddb)^(1/5)+(bba)^(1/5)+(ccd)^(1/5)]X^2 +5[(aaab)^(1/5)+(dddc)^(1/5)+(bbbd)^(1/5)+(ccca)^(1/5)+(abcd)^(1/5)-(aadd)^(1/5)-(bbcc)^(1/5)]X +a+b+c+d+5[(ad)^(1/5)-(bc)^(1/5)][(bba)^(1/5)+(ccd)^(1/5)-(aac)^(1/5)-(ddb)^(1/5)] 对应系数 5[(ad)^(1/5)+(bc)^(1/5)]=0,--------------------------------------------------------------------------(1) 5[(aac)^(1/5)+(ddb)^(1/5)+(bba)^(1/5)+(ccd)^(1/5)]=0,------------------------------------------------(2) 5[(aaab)^(1/5)+(dddc)^(1/5)+(bbbd)^(1/5)+(ccca)^(1/5)+(abcd)^(1/5)-(aadd)^(1/5)-(bbcc)^(1/5)]=4,-----(3) a+b+c+d+5[(ad)^(1/5)-(bc)^(1/5)][(bba)^(1/5)+(ccd)^(1/5)-(aac)^(1/5)-(ddb)^(1/5)]=-2,----------------(4) 整理得 (ad)^(1/5)+(bc)^(1/5)=0,---------------------------------------------------------------------------(1.1) (aac)^(1/5)+(ddb)^(1/5)+(bba)^(1/5)+(ccd)^(1/5)=0,-------------------------------------------------(2.1) (aaab)^(1/5)+(dddc)^(1/5)+(bbbd)^(1/5)+(ccca)^(1/5)+(abcd)^(1/5)-(aadd)^(1/5)-(bbcc)^(1/5)=4/5,----(3.1) a+b+c+d+5[(ad)^(1/5)-(bc)^(1/5)][(bba)^(1/5)+(ccd)^(1/5)-(aac)^(1/5)-(ddb)^(1/5)]=-2,--------------(4) 由(1.1)得(aadd)^(1/5)=(bbcc)^(1/5)=-(abcd)^(1/5),---------------------------------------------------(1.2) 把(1.1),(2.1)代入(4)得 (a+b+c+d+2)/[20(ad)^(1/5)]=(aac)^(1/5)+(ddb)^(1/5),-------------------------------------------------(4.1) (a+b+c+d+2)/[-20(ad)^(1/5)]=(bba)^(1/5)+(ccd)^(1/5),------------------------------------------------(4.2) 把(1.2)代入(3.1)得 (aaab)^(1/5)+(dddc)^(1/5)+(bbbd)^(1/5)+(ccca)^(1/5)=4/5-3(abcd)^(1/5),------------------------------(3.2) 把(4.1)和(4.2)相乘得 [(a+b+c+d+2)^2]/[-400(aadd)^(1/5)] =[(bc)^(1/5)][(aaab)^(1/5)+(dddc)^(1/5)]+[(ad)^(1/5)][(bbbd)^(1/5)+(ccca)^(1/5)],-------------------(4.3) 把(3.2)代入(4.3)得 [(a+b+c+d+2)^2]/[800(aaaddd)^(1/5)]+2/5-(3/2)(abcd)^(1/5)=(aaab)^(1/5)+(dddc)^(1/5),----------------(4.4) [(a+b+c+d+2)^2]/[-800(aaaddd)^(1/5)]+2/5-(3/2)(abcd)^(1/5)=(bbbd)^(1/5)+(ccca)^(1/5),---------------(4.5) 把(4.1)和(4.4)相乘得 [(a+b+c+d+2)^3]/(-16000ad)+{(a+b+c+d+2)/[-20(aadd)^(1/5)]}*[2/5-(5/2)(abcd)^(1/5)]=a+d,-------------(4.6) 把(4.2)和(4.5)相乘得 [(a+b+c+d+2)^3]/(16000ad)+{(a+b+c+d+2)/[-20(aadd)^(1/5)]}*[2/5-(5/2)(abcd)^(1/5)]=b+c,--------------(4.7) 把(4.6)和(4.7)相加得 a+b+c+d+2=[-20(abcd)^(1/5)]/[2/5-(25/2)(abcd)^(1/5)],-----------------------------------------------(4.8) 把(3.2)乘以(ad)^(1/5)或-(bc)^(1/5)得 -[(bba)^(1/5)-(ccd)^(1/5)][(aac)^(1/5)-(ddb)^(1/5)]=[4/5-3(abcd)^(1/5)]*[(ad)^(1/5)],---------------(3.3) 把(3.3)平方后把(4.1),(4.2)代入得 (a+b+c+d+2)^4=-160000*{[4/5-3(abcd)^(1/5)]^2}*[(aaabbbcccddd)^(1/5)]-2560000abcd,-------------------(3.4) 把(4.8)代入(3.4)整理得 (aaaaaabbbbbbccccccdddddd)^(1/5)-[(2^3)/(5^2)]abcd+[(11*2^4)/(5^5)][(aaaabbbbccccdddd)^(1/5)]-[(7*2^8)/(5^8)][(aaabbbcccddd)^(1/5)]+[(7*2^8)/(5^10)][(aabbccdd)^(1/5)]-[3659*2^4/(5^15)](abcd)^(1/5)+[(2^12)/(5^16)]=0,------(3.5) 解（3.5） {(abcd)^(3/5)-[(2^2)/(5^2)](abcd)^(2/5)+y(abcd)^(1/5)+z}^2={-[11*(2^4)]/[5^5]+2y+(2^4)/(5^4)}*{(abcd)^(2/5)+A(abcd)^(1/5)+B}^2 这里y,z,A,B是参数， 这里A={(7*2^8)/(5^8)+2z-[(2^3)/(5^2)]y}/[-(11*2^4)/(5^5)+2y+(2^4)/(5^4)], B={[z^2-(2^12)/(5^16)]/ [-(11*2^4)/(5^5)+2y+(2^4)/(5^4)]}^(1/2)， 有A^2+2B={-(7*2^8)/(5^10)- [(2^3)/(5^2)]z-y^2}/[-(11*2^4)/(5^5)+2y+(2^4)/(5^4)], 2AB={(3659*2^4)/(5^15)+2yz}/[-(11*2^4)/(5^5)+2y+(2^4)/(5^4)]， 把A^2+2B中的A^2移到右边后把2B平方，得一个方程， 把2AB两边平方，得到一个方程， 把2AB中的B代入A^2+2B中，得到一个方程 三个方程两两去掉y，得到3个z的高次方程，再两两去掉z的高次项，得到唯一z的方程，因为z的最高次项小于5，结论：方程可解！ [br][br][color=#990000]-=-=-=-=- 以下内容由 风花飘飘 在 时添加 -=-=-=-=- 摘自——————阿波叔的网易博客

风花飘飘

熊一兵

风花飘飘 ：不可光说不炼，举个简单的实际数据，用你的方法，与传统方法，及正确结果比较，真假自然大白于天下

风花飘飘

elimqiu

什么是您的伽罗瓦理论？

风花飘飘

下面引用由elimqiu在 2014/01/27 05:24pm 发表的内容：
什么是您的伽罗瓦理论？

回elim老师：
伽罗瓦只是个孩子，他的东西我不懂，但是我知道，孩子的话不可信！
我在走我自己的路，但是，我只有初中或略高水平，又局限于手工计算，难啊！计算量实在惊人。

太阳

伽罗瓦，数学家，大人物，数学高手，拿过，科学奖

太阳

下面引用由风花飘飘在 2014/01/28 00:44am 发表的内容：
回elim老师：
伽罗瓦只是个孩子，他的东西我不懂，但是我知道，孩子的话不可信！
我在走我自己的路，但是，我只有初中或略高水平，又局限于手工计算，难啊！计算量实在惊人。

风飘，解题高手，出绝招吗？一元五次方程，求根，解决吗？

熊一兵

下面引用由风花飘飘在 2014/01/28 00:44am 发表的内容：
回elim老师：伽罗瓦只是个孩子，他的东西我不懂，但是我知道，孩子的话不可信！
我在走我自己的路，但是，我只有初中或略高水平，又局限于手工计算，难啊！计算量实在惊人。

你要有自信，“只有初中或略高水平”，表达有问题：应该说我只有初中或略高的知识，知识与水平是风马牛不相关的事：
牛顿6岁回答草场与牛数的方法，可能好多现在数学教授也解不了；
伽罗瓦这个个孩子的解决问题方法，可能现在的多数数学教授也搞不好
华罗庚指出五次方程问题时，也只有初中或略高知识，你要相信自己是华罗庚第二，要自我拔高自己，
给自己加担子，戴高帽子，没有信心怎么解决问题？没有目标怎么超越自我？没有梦想怎么创造奇迹？
这些任务都是上帝认为你有才，作为一种信任给你的，你可要好好干，不要把上帝的脸丢了

风花飘飘

下面引用由熊一兵在 2014/01/28 11:48am 发表的内容：
你要有自信，“只有初中或略高水平”，表达有问题：应该说我只有初中或略高的知识，知识与水平是风马牛不相关的事：
牛顿6岁回答草场与牛数的方法，可能好多现在数学教授也解不了；
伽罗瓦这个个孩子的解决问题　...

好的，记下了！