已知 x,y,z 都是实数，且有 x+y+z=1 ，求证 x^2+y^2+z^2≥1/3

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

掬一捧月光

[这个贴子最后由掬一捧月光在 2014/02/08 08:46am 第 2 次编辑]

这无形中人为地添加了限制条件，如2x-y=1/3,3x+z=4/3。原来有三个未知量，但代换后只有一个未知量，显然是因为无形中产生限制条件的原因，要用均参法应该这样设，设x=1/3+α,y=1/3+β,z=1/3+γ,那么有α+β+γ=0.x^2+y^2+z^2=1/3+α^2+β^2+γ^2+2(α+β+γ)/3=1/3+α^2+β^2+γ^2≥1/3另外直接可以应用柯西不等式。

elimqiu

moranhuishou

这个题目可进一步改为更一般的：
已知 x_1，x_2,...,x_n 都是实数，且有 x_1+x_2+...+x_n =1 ，
求证
(x_1)^2+(x_2_^2+...+(x_n)^2≥1/n,n=1,2,...

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2014/02/08 10:37am 第 1 次编辑]

谢谢楼上 掬一捧月光、elimqiu 各位的解答。
我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。