[趣题征解]九个半径为 r 的固体球完全放入一个长方体内，求长方体的最小体积。

elimqiu

九个半径为 r 的固体球完全放入一个长方体内，求长方体的最小体积。

ysr

长方体应该是9r^3吧

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2014/03/16 04:51pm 第 1 次编辑]

下面引用由ysr在 2014/03/16 00:04pm 发表的内容：
长方体应该是9r^3吧

一个球的体积是 (4π/3)r^3, 9个球的体积已经比 9r^3 大了。 而 (9r)^3 又太宽松了点。

drc2000

[这个贴子最后由drc2000在 2014/03/16 04:50pm 第 1 次编辑]

球的外包和内包的问题，都是非常复杂的问题。
9个球，设想每3个球一层，共三层。
下面三种情况，第一种三个球并成一列,总体积72r^3
第2种情况三个球装在一个底面一个正方形内,第2种情况三个球装在一个底面一个长方形内;
都比第一种情况体积要大些.

drc2000

看来,简单的,9个球,每三个球并成一列平装在3×3的长方体内,体积是比较小的,但72r^3是不是最小,还没论证.

wangyangke

这个问题，陆教授有帖子；
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=17428
drc2000 老师，曾今给本人展示过，两个球对称相交的正四面体的8个顶点恰好是正六面体的顶点；
据陆教授的帖子得正六面体的边长  

drc2000

下面引用由wangyangke在 2014/03/16 07:18pm 发表的内容：
这个问题，陆教授有帖子；
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=17428
drc2000 老师，曾今给本人展示过，两个球对称相交的正四面体的8个顶点恰好是正六面体的顶点；
据陆教授的帖子　...

6楼wangyangke先生辛苦了

elimqiu

谢谢drc2000老师的计算和wangyangkee先生参与。这类问题看似不需要高深的数学来处理，其实是数学还没有成熟到可以系统地处理它们的地步。
除了一些粗糙的观察以外，我们没有任何有效的途径。9个球的问题与8个球的结果没有什么关系，一般地，就算我们确证了n个球对应的最小体积，其结果对n+1个球的问题也不会有多大贡献。
drc2000老师的第二，三个计算可以有一些简易的改进，大体说来就是中间三个球相对于顶层及底层呈‘倒三角’，这么一来长方体的高度可以降低。具体计算已经颇具挑战性。
猜想drc2000老师的第一个计算就是最小值。而以下是容纳9个球的表面积最小的长方体：

ysr

这个还是很复杂的

ysr

drc2000老师的第二计算可以有一些简易的改进，大体说来就是中间三个球相对于顶层及底层呈‘倒三角’，这么一来长方体的高度可以降低。具体计算大致如下：
3个球摆成正三角形，能容纳它的矩形面积为s=a*b=4r*（√3+2）r，若第2层为倒三角形，第3层为正三角形，3层高度为h=2（√3+1）r，体积为：v=（40+24√3）r^3=81.569219381653055044658712196141r^3，
8楼的也不节省空间，计算复杂，体积可能也不是很小，
总之，72r^3是最小的？