已知 √2 是无理数，n 是自然数，试证 (√2+1)^(-1/n)+(√2-1)^(-1/n) 是无理数

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

已知√2 為無理數，n是自然數，n >= -1， (.....n 的條件我記不太清楚...)

試証 (√2 + 1)^(-1/n) + (√2 - 1)^(-1/n) 為無理數。

moranhuishou

一个反例：
n=2,
(√2 + 1)^(-1/n) + (√2 - 1)^(-1/n) =1+2+1+2=6

luyuanhong

下面引用由moranhuishou在 2014/04/08 06:38pm 发表的内容：
一个反例：
n=2,
(√2 + 1)^(-1/n) + (√2 - 1)^(-1/n) =1+2+1+2=6

(√2 + 1)^(-1/2) + (√2 - 1)^(-1/2)
  = 1/√(√2 + 1) + 1/√(√2 - 1)
  = √(√2 - 1) + √(√2 + 1)
   
  不是有理数。

moranhuishou

很仓促，看看是不是算错了

moranhuishou

是我把符号理解错了。

elim

luyuanhong

楼上 elim 的解答很好！我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。