考试分数服从正态分布，已知第一四分位数为 40 ，标准差为 4 ，求此分布的平均值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子， 欢迎大家一起来想想如何解答： 若某次數學考試分數呈現一常態分配, 第一四分位數為40分且標準差為4,則此分配之平均數為? 註: 當z是標準常態分配時, P(0<=Z<=0.675)=0.25 ans: 42.7

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不清楚“第一四分位數”是啥意思？

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在概率统计中，记号 X～N(μ,σ^2) 表示
“X 服从平均值（数学期望）为 μ ，标准差为 σ 的正态分布（常态分配）”。
记号 Z～N(0,1) 表示
“Z 服从平均值 μ=0 ，标准差 σ=1 的标准正态分布（标准常态分配）”。
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可以证明：
如果  X～N(μ,σ^2) ，则必有 Z＝(X-μ)/σ～N(0,1) 。
如果  Z～N(0,1) ，则必有 X＝μ+Zσ～N(μ,σ^2) 。
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当 Z～N(0,1) 时，有
P{Z＜-0.675}＝P{-0.675≤Z≤0}＝P{0≤Z≤0.675}＝P{Z＞0.675}＝0.25 ，
也就是说，当 Z 服从平均值为 0 ，标准差为 1 的标准正态分布（标准常态分配）时，
它的第一四分位数是 -0.675 ，它的平均值是 0 ，它的第二四分位数是 0.675 。
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当 X～N(μ,σ^2) 时，有 (X-μ)/σ～N(0,1) ，所以有
P{X＜μ-0.675σ}＝P{(X-μ)/σ＜-0.675}＝0.25 ,
P{μ-0.675σ≤X≤μ}＝P{-0.675≤(X-μ)/σ≤0}＝0.25 ,
P{μ≤X≤μ+0.675σ}＝P{0≤(X-μ)/σ≤0.675}＝0.25 ,
P{X＞μ+0.675σ}＝P{(X-μ)/σ＞0.675}＝0.25 。
也就是说，当 X 服从平均值为 μ ，标准差为 σ 的正态分布（常态分配）时，
它的第一四分位数是 μ-0.675σ，
它的平均值是 μ，
它的第二四分位数是 μ+0.675σ 。
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例如，如果已知 X～N(μ,σ^2) ，X 的第一四分位数是 40 ，标准差是 4 ，则有
μ-0.675σ＝40 ，X 的平均值 μ＝40+0.675σ＝40+0.675×4＝42.7 。