求 (1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)^4 展开式中 x^12 的系数

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)^4 展開式中 x^12的係數

Ans: 125

luyucheng1

luyuanhong

谢谢楼上 luyucheng1 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

掬一捧月光

掬一捧月光

我們知道，二項式(a+b)^n 展開系數有楊輝三角形表示的組合系數公式，那麼三項式(a+b+c)^n 展開的組合系數怎麼表示呢? 繼而 m 項呢？

fungarwai

5楼问题参见多项式定理
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E5%AE%9A%E7%90%86
(x^1+x^2+x^3+...+x^n)^m这类问题可以用隔板法解决
但(a1x^1+a2x^2+a3x^3+...+anx^n)^m未有方法可以简单实现

掬一捧月光

下面引用由fungarwai在 2014/04/25 10:16am 发表的内容： 5楼问题参见多项式定理
(zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E5%AE%9A%E7%90%86
(x^1+x^2+x^3+...+x^n)^m这类问题可以用隔板法解决
但(a1x^1+a2x^2+a3x^3+...+anx^n)^m未有方法可以简　...

謝謝 fungarwai 的回答 您的組合數學真的很厲害，好似這類問題到您手裏總能上升到一個高角度來解決。但樓上的解法我不甚其解，不知道隔板法是如何操作的，還有那個求和式是怎麼來的？我聽說國內南開大學的陳省升數學研究所是世界組合數學中心啊？感覺好牛~~

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2014/04/25 10:47am 第 2 次编辑]

谢谢楼上 掬一捧月光、fungarwai 的解答。
我已将此两帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

fungarwai

[这个贴子最后由fungarwai在 2014/04/25 10:46am 第 1 次编辑]

隔板法是把一个正整数分拆成几个正整数的方法
如x1+x2+x3=10
10=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
隔两个板得1+1+1|1+1+1+1|1+1+1
即x1=3,x2=4,x3=3
这样就得出可行解数有C(9,2)个
题目等价于(x^1+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^4 展開式中 x^16的係數
即x1+x2+x3+x4=16的解数
这时我用“xi=1,2,...,∞的解数”减去“xi=7,8,...,∞的解数”得出“xi=1,2,...,6的解数”
A:x1=7,8,...,∞
B:x2=7,8,...,∞
C:x3=7,8,...,∞
D:x4=7,8,...,∞
(U-A)(U-B)(U-C)(U-D)=U-(A+B+C+D)+(AB+AC+AD+BC+BD+CD)-(ABC+ABD+ACD+BCD)+ABCD

掬一捧月光

謝謝 fungarwai 老師的解答~~