f,g为首一二次多项式，f^2≡4x-4 mod g, g^2≡-4x-4mod f 求 f-g

elimqiu

f, g 为首一二次多项式，f^2 除以 g 余 4x -4,   g^2 除以 f 余 - 4x - 4.  求 f - g

掬一捧月光

[这个贴子最后由掬一捧月光在 2014/04/27 03:28pm 第 3 次编辑]

不是解决了吗？被 luyucheng1老师 做出来了的。
http://www.mathchina.com/cgi-bin ... m=5&topic=19976

luyuanhong

下面是网友 luyucheng1 过去在《数学中国》中对此题的解答：

elimqiu

一段时间没有好好上网了。谢谢月先生的回帖。
这里是我的解：
令 g = x^2 + ux + v, h = f - g = sx + t 则
     f^2 - (g + 2h + s^2) g = h^2 - s^2g = (2st - s^2u) x + t^2 - s^2v = 4x - 4
    g^2 - (f - 2h + s^2) f = h^2 - s^2 f = (2st - s^2(u+s)) x + t^2 - s^2(v+t) = -4x - 4
两式相减得  s^3 x + s^2 t = 8x,  (s, t) = (2w, 0)    w^3 = 1
进而有  8(ux + v) = s^3(ux + v) = -4s(x -1) = -8w(x - 1),  u = -w, v = w,  
f - g = h =  sx = (2w) x 为所求。其中  2w = 2, -1±i√3.   
如果只在实数范围求解，则得唯一解  f - g = 2x