设 x(1)=1/2, x(n+1) = x(n)(1-x(n)) (n≥1), 讨论 ∑x(n) 的敛散性.

elim

elim

elim

设 x(1)∈(0,1), x(n+1) = x(n)(1-x(n)) (n≥1), 由楼上分析知道 x_n 与 1/n 是等价无穷小. 这是问题的本质.

luyuanhong

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王守恩

elim 发表于 2019-12-6 22:22

可以求和吗？
1/4+2/9+3/16+4/25+5/36+6/49+7/64+8/81+...+(n-1)/n^2=？

王守恩

王守恩 发表于 2019-12-7 11:16
可以求和吗？
1/4+2/9+3/16+4/25+5/36+6/49+7/64+8/81+...+(n-1)/n^2=？

我们是否可以这样说。
在 (1) 式中，A 是任意数，B<1，级数是发散的，譬如(2)。
在 (1) 式中，A 是任意数，B>1，级数是收敛的，譬如(3)。

elim

王守恩 发表于 2019-12-7 00:51
我们是否可以这样说。
在 (1) 式中，A 是任意数，B1，级数是收敛的，譬如(3)。

你这是对的．但需要证明。

王守恩

elim 发表于 2019-12-7 16:00
你这是对的．但需要证明。

设x(1)=m，0<m<1，x(n+1) = x(n)*(1-x(n)) (n≥1)，则
(1)，x(1)=m与x(1)=1-m，有限项 ∑x(n) 的和是相同的，
(2)，m=1/2时， 有限项 ∑x(n) 的和比(1)要大
(3)，x(n)=1/n*(1-1/n)，有限项 ∑x(n) 的和比(1)，(2)要大

elim

先证明 ∑ (1/n)^a 当 a>1 时收敛, 当 a ≤ 1 时发散.
然后用比较判别法证明你的 ∑x(n) 的敛散性结论.

王守恩

elim 发表于 2019-12-8 08:05
先证明 ∑ (1/n)^a 当 a>1 时收敛, 当 a ≤ 1 时发散.
然后用比较判别法证明你的 ∑x(n) 的敛散性结论.

...

我们用 x(n) = A/B 来表示级数的通项，其中 A,B 分别是一个多项式，则
A的次数 - B的次数>1时，级数是收敛的，譬如：(5n+2)/(n^3-n)，(n^3+3n-5)/(n^5-7n+9)
A的次数 - B的次数≤1时，级数是发散的，譬如：(5n+2)/(n^2-n)，(n^4+3n-5)/(n^5-7n+9)