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设 x(1)=1/2, x(n+1) = x(n)(1-x(n)) (n≥1), 讨论 ∑x(n) 的敛散性.

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发表于 2019-12-6 08:08 | 显示全部楼层 |阅读模式

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  • · 好貼|主题: 271, 订阅: 0
 楼主| 发表于 2019-12-6 22:22 | 显示全部楼层

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 楼主| 发表于 2019-12-6 22:35 | 显示全部楼层
设 x(1)∈(0,1), x(n+1) = x(n)(1-x(n)) (n≥1), 由楼上分析知道 x_n 与 1/n 是等价无穷小. 这是问题的本质.
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发表于 2019-12-7 07:39 | 显示全部楼层
楼上 elim 的帖子很好!已收藏。
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发表于 2019-12-7 11:16 | 显示全部楼层

可以求和吗?
1/4+2/9+3/16+4/25+5/36+6/49+7/64+8/81+...+(n-1)/n^2=?

点评

你这个级数是发散的.  发表于 2019-12-7 11:50
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发表于 2019-12-7 15:51 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2019-12-7 11:16
可以求和吗?
1/4+2/9+3/16+4/25+5/36+6/49+7/64+8/81+...+(n-1)/n^2=?

我们是否可以这样说。
在 (1) 式中,A 是任意数,B<1,级数是发散的,譬如(2)。
在 (1) 式中,A 是任意数,B>1,级数是收敛的,譬如(3)。

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 楼主| 发表于 2019-12-7 16:00 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2019-12-7 00:51
我们是否可以这样说。
在 (1) 式中,A 是任意数,B1,级数是收敛的,譬如(3)。

你这是对的.但需要证明。
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发表于 2019-12-7 16:52 | 显示全部楼层
elim 发表于 2019-12-7 16:00
你这是对的.但需要证明。

设x(1)=m,0<m<1,x(n+1) = x(n)*(1-x(n)) (n≥1),则
(1),x(1)=m与x(1)=1-m,有限项 ∑x(n) 的和是相同的,
(2),m=1/2时, 有限项 ∑x(n) 的和比(1)要大
(3),x(n)=1/n*(1-1/n),有限项 ∑x(n) 的和比(1),(2)要大
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 楼主| 发表于 2019-12-8 08:05 | 显示全部楼层
先证明 ∑ (1/n)^a 当 a>1 时收敛, 当 a ≤ 1 时发散.
然后用比较判别法证明你的 ∑x(n) 的敛散性结论.

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发表于 2019-12-8 11:21 | 显示全部楼层
elim 发表于 2019-12-8 08:05
先证明 ∑ (1/n)^a 当 a>1 时收敛, 当 a ≤ 1 时发散.
然后用比较判别法证明你的 ∑x(n) 的敛散性结论.

...

我们用 x(n) = A/B 来表示级数的通项,其中 A,B 分别是一个多项式,则
A的次数 - B的次数>1时,级数是收敛的,譬如:(5n+2)/(n^3-n),(n^3+3n-5)/(n^5-7n+9)
A的次数 - B的次数≤1时,级数是发散的,譬如:(5n+2)/(n^2-n),(n^4+3n-5)/(n^5-7n+9)
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