证明 f(x)=cos[x^(1/3)] 不是周期函数

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

f(x)=cos[(x)^(1/3)]  不是週期函數

ataorj

证明 f(x)=cos[x^(1/3)] 不是周期函数
反证法:假设周期是正数a.设m,n为整数
cos[(x-a)^(1/3)]=cos[x^(1/3)]=cos[(x+a)^(1/3)]
取一个值x=0,有
cos[(-a)^(1/3)]=1=cos[(a)^(1/3)]
(-a)^(1/3)=0+n*2Pi
(a)^(1/3)=0+m*2Pi
-a=(2nPi)^3
a=(2mPi)^3
可见,仅仅考虑x=0时的周期,';周期';是(2mPi)^3,m为任意非负整数[应该舍弃0].这些';周期';没有一个可以做各种周期的基数[最小的(2Pi)^3不能满足实现其它';周期';],可见不是常规的定周期,不是周期函数.
基数部分证明如下:m=1时周期(2Pi)^3,记为Z1=(2Pi)^3,有连续相邻的3种';周期';:
Z1=(2Pi)^3
Z2=(4Pi)^3
Z3=(6Pi)^3
它们之间也应该有相同周期,Z2-Z1=Z3-Z2
2*4^3=2^3+6^3
128=224,显然不成立.
其实,是变周期,各种周期都仅仅循环一次被表现.
以上认识不是很清楚,欢迎大家发出高见.

luyuanhong

谢谢楼上 ataorj 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

ataorj

更正:更恰当应该叫对称变周期,各种周期不是表现一次,而是关于y轴对称而表现了两次.这种对称性是逆向,也不符合常规周期的含义.又:另外选取一个x点,则应该会产生另外一个系列的各种周期.

ataorj

仍然有漏洞,并没有推导Z1,Z2,Z3是相邻周期点,下面说法不正确：
它们之间也应该有相同周期,Z2-Z1=Z3-Z2
应该是：
它们之间也应该有相同周期,(Z2-Z1)/Z1和(Z3-Z2)/Z1都应是整数.
Z2/Z1=8
Z3/Z1=27
可见,存在Z1的1,8,27周期点.做为基础周期,2周期点也应该存在:
x2=2*Z1=2*(2Pi)^3,[注:x1=0]
f(x2)=cos((2*(2Pi)^3)^(1/3))=-0.0622954≠1=f(x1),可见不存在Z1的2周期点
总之,周期在大小和方向上都不能完全符合常规周期的含义.[没使用';定义';二字,因为我没有查找周期定义]
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ataorj 在 时添加 -=-=-=-=-
更正:x0=0,x1=Z1