[原创]超越复数的三元数-从复平面到三维数空间

红似火white

[watermark]大家好!将一篇有趣的论文献给大家分享!

红似火white

大家好！刚才上传的是一篇关于三维空间数系的有趣的论文，论文中解决了如何计算两个三元数的加、减、乘、除，以及单个的三元数如何乘方、开方的问题，也解决了求一个三元数的指数函数的问题，成功地将中学数学课本中的二维复数理论推广至三维空间。
    当然，新理论仍然是在原理论基础上发展起来的，这与物理学有区别，感兴趣的朋友可与我联系，这篇论文在全国初等数学学术交流会上获二等奖（在湖北大学颁发）。 你的朋友：红似火  2007.6.7   E-mail:13091122997@165e.com

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    原来空间数系理论中有一个重要的公式,P=a+bi+cj=r[cosθ+sinθ(icosφ+jsinφ)],从这个公式中,可以将三元数的代数形式与它的三角形式(实际本质上是解析几何中的球坐标)统一起来,这样,每一个三元数都可以乘方、开方，也可以有效地求得任一个三元数的指数函数，于是三元数便有了一个直观的几何模型，且能支持函数理论的发展，从优美、和谐的数学关系出发，得到了一个统一、直观的数学理论，美学原理常常会把我们引向真理。
　　更一般的，上述公式可以推广至Ｎ维空间，使得一个Ｎ元数的代数形式与三角形式获得统一，从而得到一个最大的空间数系。
　　确实非常有趣！

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    实数一一对应于数轴，复数一一对应于复平面，三元数一一对应于三维数空间，Ｎ元数一一对应于Ｎ维数空间，三维空间可看作由复平面旋转而成，Ｎ维空间可看作由超平面旋转而成，这样，代数与几何就获得了高度和谐的统一。
　　丘成桐先生说的好！我们发展一个一般理论，其目的并不是为了服务于其它学科，而是基于它自身的完美以及达到和谐统一。
　　伟大的数学公式总是简洁、优雅而和谐，犹如数学王国中的金字塔，具有震撼人心的、雕塑般的、永恒的美！
　　　在三维空间，三元数p3=a+bi+cj=r[cosθ+sinθ(icosφ+jsinφ)]
　　　在四维空间，四元数p4=a+bi+cj+dk=r[cosθ+sinθ(icosφ1+jcosφ2+kcosφ3)]
　　　同理，数系理论在Ｎ维空间仍成立，对一个Ｎ元数依然可以开方、乘方，以及求得任一Ｎ元数的指数函数，从而将函数理论推广至Ｎ维空间，这样便可以彻底解决数系问题。

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　下面将《超越复数的三元数－从复平面到三维数空间》论文中的经典论述传上，与大家共勉！
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　摘  要  
　　本文通过引入空间直角坐标系，从清晰、简明的解析原理出发，利用数形合一的数学思想，建立了空间数系的理论。
　　作者在文中阐述了三元数运算的一般法则及重要性质，并给出以下有趣结论：
一、一般地，一个三元数的n次方根有n个，分布在空间中与复平面成某一角度的一个圆上。
二、任一给定三元数可求其指数函数
　　　　　　　　　　　　　　　　　　经典论述
　　两个三元数的积的模，当且仅当两个三元数在同一个数平面上时，等于两个三元数的模的积。
　　由于所有的复数都位于倾角为0的数平面——复平面上，当然复数满足“模律定理”。
　　不仅如此，进一步的研究发现，一般地，当且仅当三元数在同一个数平面上时，它们的乘法满足结合律。
　　新数系并不能在一般的意义上满足结合律，但新数系理论正确指出了满足什么样的条件，哪一类的数就可以满足结合律。
　　最后得出结论，只需将建立空间直角坐标系来表示三元数的数空间看作是由无数个数平面所组成，原本纷乱的局面就立即变得和谐、简单、有序。
　　中学数学课本中对数学的介绍很容易使人产生这种印象：学生们所学的课程是理所当然的正确，逻辑清楚、叙述严密，似乎数学家在创立它时没有遇到任何困难，自然而然地建立了各种定理。
　　初等数学——作为数学大厦的外壳，似乎已足够坚固，坚固到后人已难以再在其上添加哪怕一粒的小石子，这些课程经过千锤百炼，好象完全已成定局。
　　波澜壮阔的数学史却形成鲜明的对比，它教导我们，一个科目的发展，是由汇集不同方面的成果点滴积累而成的。我们也知道，常常需要几十年，甚至几百年的努力才能迈出有意义的几步。不但这些科目并未锤炼成无缝的天衣，就是那已经取得的成就，也常常只是一个开始，许多缺陷有待填补，或者真正重要的扩展还有待创造。
　　中学数学课本中斟字酌句的叙述，未能表现出创造过程中的斗争、挫折，以及在建立一个可观的结构之前，数学家所经历的艰苦漫长的道路。
　　事实上，数学家的研究工作总是在跌跤中不断爬起，在迷雾中不断摸索前行，最后才零零碎碎地得到一份属于自己的甜美果实。
　　数系的研究历程也正是如此。
　　在数学史上，复数曾长时间的饱受非议，使数学家最终相信复数的不是逻辑，而是威塞尔、阿尔刚和高斯等人给出的几何表示。
　　由于三元数也有一个直观的几何模型，且能支持函数理论的发展，所以三元数也有资格被称之为“数。
　　尤其值得一提的是：三元数理论的研究尚远未达到顶峰，它提出了一系列棘手而迷人的新问题，散发着勃勃的生命力。
　　壁立千仞，高山仰止，或许真正伟大的发现才刚刚开始。
　　　　　　　　　　　　　　参考文献
⑴龙文.中学生数学概念定律公式手册.长沙:湖南科学技术出版社，1997.
⑵M.克莱因.石生明等译.古今数学思想.上海：上海科学技术出版社，2002.
⑶让.迪厄多内.沈永欢译.当代数学:为了人类心智的荣耀.上海:上海教育出版社，1999.
⑷M.克莱因.李宏魁译.数学：确定性的丧失.长沙：湖南科学技术出版社，1999.
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   感谢网友们的指点,终于学会了发带公式的图片WORD文档了,这样更便于网友们的互相交流,因为毕竟数学交流没有数学公式不行,还请大家多指教!谢谢!好的东西就是要与大家分享!

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从<数学中国>网站上,我们已经学到了许多数学与计算机方面的知识,再次感谢版主对网站的高效管理,使我们这些爱好数学的人能够在一起互相交流、互相探讨有趣的数学问题。

伐木道人

   ２００６年８月在湖北大学召开的全国第六届初等数学交流会上数学界来人众多,武汉大学齐名友教授等也参加了该会,这篇论文编入了论文集，并获二等奖，当时宣读论文时，主持人是华南师大的吴康教授，传统的看法是：要形成一个数域只能有实数与复数,这当然不会错,数学界早有公论,现在出现了一种奇异的情况,三元数整体来看,她不能形成一个数域,但,当把三元数分到一个个数平面上时,她们各自又能形成一个数域,这是数学史上从未有过的事情,而且,三元数可以进行加、减、乘、除、乘方、开方等代数运算，即便是任意三元数的相乘，也可以有仿射变换的意义，不仅如此，三元数代数形式与几何形式的统一竟完全体现了三维空间球坐标与代数形式的统一，有一个极其优美的数学公式，在此基础上还可以推广出三元数函数理论，使人不得不相信该理论的真实性。
　不过，也有数学家虽然承认三元数理论自成体系，并无逻辑矛盾，但对三元数的定义仍有疑问，并非所有人都承认了该理论，当然，也有人想知道该理论有什么用，与向量的的关系如何，有教授想用她解决一些实际的物理问题，直观的看，该理论体现了一种天文学中的轨道面上的旋转运动，应该说还是有实际意义的。
　不排除也有数学家反对她，认为她打破了数学界的固有秩序，竟敢质疑大数学家哈密顿先生的理论。需要指出的是，有了三元数理论，很容易将数系推广至Ｎ维空间，从而得到统一的Ｎ元数理论，换言之，她是一个能够自我生长的理论，自然可向更高维空间推广，自有她的生命力。
　　或许牛顿说的对，真理并不是在事物的纷繁复杂中发现的，恰恰相反，她总是在事物的简单性中发现的，真理常存在于简单之中，不知这是不是该论文中三元数引入定义i.j=0的深层次原因，看来在“0”中仍然蕴藏着许多不为人知的奥秘，老子说：无中生有，似乎真有着深刻的含义。
　　网上的朋友不妨自由探讨，或许大家有更好的看法。

starwhite

大家好!
    经研究,将数系推广至三维空间后,代数学基本定理仍然成立,仍能保证一元N次方程至少有一根,很奇怪当初高斯不直接断言:一元N次方程有且仅有N个根,现在明白,严谨的高斯,无法确定数系将来也许会扩展,在三维空间根的情况尚不得而知,只是在复平面上,一元N次方程有且仅有N个根成立,这个理智而谨慎的德国人小心翼翼地对三元数作了一番研究,但未全文发表.
    许多幂级数的结论只有拿到三维空间,甚至N维空间,才能获得最终的理解,一个收敛的幂级数收敛域是一个圆盘,在三维空间发现收敛域是一个圆球,在N维空间中收敛域是一个N维的圆球.
    不过,奇怪的是,用代数拓扑的办法虽能证明,将数系推广至三维空间后,代数学基本定理仍然成立,仍能保证一元N次方程至少有一根,但如何找到根却并非易事,这需要求解非线性代数方程组,即使研究一元二次方程在三维空间的情形,也需解决三个双曲面相交的问题,这是一个难题,与电子技术对抗中GPS卫星定位系统不谋而合,也很有研究的价值.
    三维空间的情形研究清楚了, 现在回过头再去观察复平面的情形,你会发现,二维情形实在是太浅显了.
    数学的宇宙会不会真是扁平的呢?
    数系难道真的到复平面就嘎然而止了吗?
    这有待我们进一步去探讨.

ahnuzfm

哪有什么三维数啊
只有四维的,复数是最大的一个数域,比它大的还有一个Hamilton四元数(除)环,
Hamilton发现四元数环用了十年的时间.
不过数学界都不再把它叫做数了
你的三维的乘法可能是向量的叉乘而已.
一个数的倒数是多小, 这里两个数相除是怎么定义的,你都没有说.