a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)≥3/2

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/04/14 09:57pm 第 1 次编辑]

大家看看这个不等式是不是还有更简单的证明：

谢芝灵

设:a≥b≥c≥0.
   得:a^2+b^≥2ab>3ab/2
    有:a/b+b/a>3/2......(1)
    取c的最小值,c=0.
  得:a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)=a/b+b/a>3/2.
  取c的最大值,c=a.得a=b=c.

  得:a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)=1/2+1/2+1/2=3/2.
  因为c在 :a≥b≥c≥中最小.而c取最小值最大值有:
  a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)≥3/2.所以c为大于零任意值时,此式都成立![br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 谢芝灵 在 时添加 -=-=-=-=-
改笔误:
得:a^2+b^2≥2ab>3ab/2

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/03/25 01:38pm 第 1 次编辑]

2搂的证明方法很新颖，思路也很独特，但是，很可惜，这种证明方法其实是不成立的，下面是一个反例：

谢芝灵

谢谢!你说得很对.
我当时的思维逻辑是::a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)的大小由a,b,c.决定,又
  设:a≥b≥c≥0.当取c的最小值和最大值时.a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)的大小会由
最小变为最大(或最大变最小)即我们常说的↑(或↓).不会出现波浪曲线.
  当数值中出现a-b)^2和:│a^2-b^2│时,情形就不一样了.会出现波浪曲线变化.
  我的那种逻辑,近限于某些不等式,像此情形:
a/(b+c)+b/(c+d)+c/(d+a)+d/(a+b)≥2和:a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)≥3/2.等类型.
  总的来说还是谢谢你的意见!

ywl

[这个贴子最后由ywl在 2007/07/06 10:53am 第 1 次编辑]

我在资料上看到以下一种证法
  左边=[a/(b+c)+1]+[b/(c+a)+1]+[c/(a+b)+1]-3
      =(a+b+c)/(b+c)+(a+b+c)/(c+a)+(a+b+c)/(a+b)-3
      =(a+b+c)[1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b)]-3
      =1/2[(a+b)+(b+c)+(c+a)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]-3
      ≧(1/2).3^2-3=3/2
   后面一部用到用柯西不等式很容易证明的一个简单性质：(A+B+C)[1/A+1/B+1/C]≧3^2
   

谢芝灵

  妙!数学真奇妙!

谢芝灵

  其实我2楼那种逻辑思维还是不严格.没有完全归纳法那样严密.
  只凭直观想象是↑或↓.没有证明它的变化不是曲线.!因为有的数是这个在变小,
另一个反而在变大.没有证明它的总数值在↑(或↓).

谢芝灵

设:a≥b≥c≥0.
  得:a^2+b^2≥2ab>3ab/2
   有:a/b+b/a>3/2......(1)
a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)的大小由a,b,c.决定.令a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)=S
  只要求出S值的最小值就行了.又c最小, 取c的最小值,c=0.有:
  :a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)=a/b+b/a≥3/2
   现在要分析:第一种情况:c↑--->S↑
              第二种情况:c↑--->S↓
    如果是第一种那么:a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)≥3/2.成立.
   如果是第二种那就有,c↑到最大值:取c的最大值,c=a.得a=b=c.
  有::a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)=1/2+1/2+1/2=3/2.得S最小时=3/2.故S≥3/2.
   这样就完整的证明了.

正理

呵呵,好朋友都来了

musicbug88

[这个贴子最后由musicbug88在 2010/01/01 11:40am 第 2 次编辑]

1楼不等式可以转换成研究一个函数的性质来获证。
令s=a+b+c,u=a/s,v=b/s,w=c/s, 则u+v+w=1，不等式变成证明
u/(1-u)+v/(1-v)+w/(1-w)>=3/2
函数f(x)=x/(1-x)在区间(0,1)是下凸的，由詹森不等式
f(u)+f(v)+f(w)>=3*f((u+v+w)/3)=3/2 由此原不等式获证