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[watermark]前贴不知怎么无法回复，再贴（文字版），详细可到
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=3220&show=0
梅森素数分布问题——荒唐的“周氏猜测”
引
我们知道，1640年，当费马发现2^2^n+1当n=0,1,2,3,4是素数时，就匆忙向世界宣布，当n为任何正整数时2^2^n+1都是素数。而有人偏就不信这个邪，1732年，欧拉就证明了当n=5时费马数不是素数。并且至今再也没有发现n>4的费马素数。由此现已基本有定论：费马素数仅有初始5个。
这则逸闻已成为数学史上的笑谈。
（其实当初梅森素数也是发现了前5（4）个：M_1,2,3,5,7时就有人宣布所有形如2^p-1,p为素数时都是素数，只不过很快就有人验证出M_11不是素数。）
无独有偶，今天，这个被“国际”上“看好”的“周氏猜想”竟也同样是因为k=0,1,2,3,4时成立便被推出的，并且也同样是到了“k=5”这个“劫数”时走向“绝路”的。
难道历史真的会有如此惊人的相似之处吗？
简介
梅森素数是形如2^p-1之素数。一个梅森素数即对应一个完全数，因此，梅森素数又被誉为最完美的素数。
梅森素数猜测，指的是对梅森素数分布情况的猜测，是著名的世界难题。
关于梅森素数的详细介绍，可“百度”有关资料。
一、“准确”的“周氏猜测”？
“关于梅森素数的分布研究，英国数学家香克斯、法国数学家托洛塔、德国数学家伯利哈特、印度数学家拉曼纽杨和美国数学家吉里斯等曾分别提出过猜测，但他们的猜测有一个共同点，就是都以渐近表达式提出；而它们与实际情况的接近程度均难如人意。唯有周氏猜测是以准确表达式提出，而且颇具数学美；这一猜测至今未被证明或反证，已成了著名的数学难题。”？
“其内容为：当2^（2^n）＜p＜2^（2^（n+1））时，Mp有2^（n+1）－1个是素数。周海中还据此作出了p＜2^（2^（n+1））时梅森素数的个数为2^（n+2）－ n － 2的推论（注：p为素数；n=0,1,2,3…；Mp为梅森数）。 ”
—摘自互联网 百度搜索
上面就是关于梅森素数分布研究的“周氏猜测”以下简称“周猜”
验证解释一下：
“周猜”就是把梅森素数按照x=2^2^k~2^2^(k+1)分区：
k+1=1, x=2^2^0~2^2^1之间也就是x=2^2~2^4之间共有素数2^1-1=1个，即M_3=2^3-1=7，共1个；
k+1=2, x=2^2~2^4之间共有素数2^2-1=3个，即M_3,5,7共3个；
k+1=3, x=2^4~2^8之间共有素数2^3-1=7个，即M_17~127共7个；
k+1=4, x=2^8~2^16之间共有素数2^4-1=15个，即M_521~44497共15个；
因为下一个区间还没有出现，目前只能验证到k+1=4。
从上面验证数据可知，可知“周猜”的规律是：第n+1个区间的素数个数是第n个区间的素数个数的2倍加1。
一般用π(M_x)表示不大于2^x的梅森素数的个数，有
k+1=1，π(M_x)=2^2-2=2，
k+1=2，π(M_x)=2^3-3=5，，
k+1=3，π(M_x)=2^4-4=12，
k+1=4，π(M_x)=2^5-5=27，
也同样只能验证到k+1=4。当然，“准确无误”。
且似乎也正如上文所说，“公式颇具数学美”。
作为一个猜测结果，能够达到如此地步，好像真的也很不错了，怨不得国际数学界命名并倍加推崇呢。
这个猜测提出于1992年，十七年来，没有人提出过异议。而如果笔者要说：这个猜测不仅不是准确的，而且是非常荒唐的，一定没人相信——
二、简洁的“斯露猜测”
对于梅森素数分布规律的猜测并非就此一个“周氏猜测”，前面介绍几个外国的数学家的猜测先不提，因为首先“它们与实际情况的接近程度均难如人意。”并且这些猜测都是用经过“精心”修正的亢长的小数来调整的。远没有下面介绍的这个猜测精确、简洁、自然。
“斯露定理”是网民“斯露化雨”给出的一个简洁精确的关于梅森素数分布的定理，所以称之为“定理”，是因为这是证明出来的结果，但由于种种原因，证明尚未公布，所以本文还是将之视为一个猜测结果，以下简称“斯猜”：
命π(M_x)表示不大于2^x的梅森素数的个数，则有
π(M_x)~5/3*log(x)
或表为
π(M_x)=5/3*log(x)±Δ
式中的log(x)表示以2为底的x的对数，下同。
（注意本猜测中定义的第一个素数为2^1-1=1。）
这个猜测可表为：梅森素数的个数在x=2^r~2^(r+1)区间内的均值为5/3。
对于这个猜测，同样也可以作如下绝对0误差的表述:
设x=2^(3n) (n=1,2,…)，则存在无穷多个n，可使得
π(M_x)=5n
验证可知，当n=1，2，8时这个猜测成立，当n=3，4，5，6，7时误差不大于±2。即有
π(M_x)_1=5*1=5+0
π(M_x)_2=5*2=10+0
π(M_x)_8=5*8=40+0
n=9时因素数尚不完备暂无法验证。
从验证结果及图可以看出，这也是一个简洁精确的猜测结果，同样也找不出任何瑕疵来。
那么，这两个猜测会不会殊途同归都是正确的呢？
答案是，否——
三、两个猜测截然不同
有比较才有鉴别。而要比较，就必须将两个结果用统一公式符号表示。
下面先将目前人类发现的45（44?）梅森素数列表并按照“周猜”与“斯猜”两种分区法划点：
x r=log(x)， (n)=1/3*r(斯点）k=log(r) (周点) M_p及(序号)
2 1 0 M_1(1) M_2(2)
4 2 1 M_3(3)
8 3 （1） M_5(4) M_7(5)
16 4 2 M_13(6)
32 5 M_17,19,31 (7,8,9)
64 6 （2） M_61(10)
128 7 M_89,107,127(11,12,13)
256 8 3
512 9 （3）
1024 10 M_521,607(14,15)
2048 11 M_1279(16)
4096 12 （4） M_2203,2281,3217(17,18,19)
8192 13 M_4153,4423(20,21)
16384 14 M_9689,9941,11213(22,23,24)
32768 15 （5） M_19937,21701,23209(25,26,27)
65536 16 4 M_44497(28)
131072 17 M_86243,110503(29,30)
262144 18 （6） M_132049,216091(31,32)
524288 19
1048576 20 M_756839,859433(33,34)
2097152 21 （7） M_1257787,1398269(35,36)
4194304 22 M_2976221,3021377(37,38)
8388608 23 M_6972593 (39)
16777216 24 （8） M_13466917(40)
33554432 25 M_20996011,24036583, 25964951,
30402457,32582657 (41,42,43,44,45)
表1
并作如下调整：
1、根据上表，“斯猜”公式化为：
π(M_x)_r=5/3*r±Δ
2、将2^1-1同样定义为“周猜”中的第一个素数。
3、“周猜”公式化为
π(M_x)_r=2r-k=2r-log(r)
统一之后可以看出，“周式”中的k对应的正是斯式中的误差值“Δ”
我们来看看统一之后周式的验证数据与斯式验证数据的差别
k r=2^k π(M_x) 5/3*r±Δ 2r-k
0 1 2 1.7+0.3. 2-0
1 2 3 3.3-0.3 4-1
2 4 6 6.7-0.7 8-2
3 8 13 13.3-0.3 16-3
4 16 28 26.7 +1.3 32-4
表2
“周式”的计算误差远远大于“斯式”。
或有人说，人家“周式”是把后面的k算为主项的，把k给人家列为误差项这是你自己的理解。
就算是这样吧。我们这里虽然把它算作误差项，但只要这个误差项是准确的，作为什么项都没有关系，一样的。
我们不妨将k值放大，先看看这两个公式的计算误差有多大？
k r=2^k 5/3*r±Δ（估计） 2r-k
5 32 53.3±4？ 64-5=59
6 64 106.7±5？ 128-6=122
7 128 213.3±6？ 256-7=249
8 256 426.7±7？ 512-8=504
9 512 853.3±8？ 1024-9=1015
10 1024 1706.7±9? 2048-10=2038
11 2048 3413.3±10？ 4096-11=4085
12 4096 6826.7±11？ 8192-12=8180
……
表3
真是“失之毫厘，差之千里”误差超倍增长。这是绝对不能容忍的。
这是周式与实际值的误差值吗？这是由于主项中一个系数是5/3，一个系数是2得出的周式与斯式主项的“正差”值，这么大的误差决不是一个小小的“k”能够弥补得了的。
而客观规律只有一个，所以这两个猜测已经不是什么哪个准确哪个不准确的“误差”问题，而是其中必有一个是完全错误的“原则”问题了——
四、“周氏猜测”谬误分析
1、理论上站不住脚：
我们知道，素数序列不是等差也不是等比的，所以凡涉及素数个数的函数要么是“主项+误差项”的“中值形式”如“斯猜”。要么是“渐近式”（注意：周猜介绍国外的几个猜测时说都是“渐近式”的说法是错误的，它们应该都是优于“渐近式”的“中值形式”。）如素数定理π(x)~x/ln(x)。反之凡表述为0误差的就是不符合素数分布规律的不合理的，也可以说肯定是错误的。正如“不存在任何一个多项式可常表素数”一样，同样“不存在任何一个多项式可准确地常表素数个数”。
其他如孪生素数个数、哥德巴赫猜想解数等函数也都是不可能仅用一个无误差的主项表示的。所以即使这个“周猜”的是正确的，也同样是不可能用精确表达式表达的，这应该是一个很简单的“常识”问题，“周猜”用无误差表述实在是一个非常幼稚的低级错误。
2、偷梁换柱的表述：
我们前面已经将“周猜”更简洁地表述为：
在x= 2^2^(k-1)~ 2^2^k之间的梅森素数个数为2^k-1个。那么，“周猜”原表述为什么要舍简就繁表述为“在x= 2^2^k~ 2^2^(k+1)之间的梅森素数个数为2^(k+1)-1个”呢？因为如果按简洁的新表述，这个猜测就不是0误差了——
用新表述，设k=0，则有，
在x= 2^2^(-1)~ 2^2^1之间的梅森素数个数为2^0-1=0个，这显然与公式的0误差相悖。因为在这个区间里就有2^2-1=3是素数。
这么明显的第一个（先不论斯猜定义的2^1-1是第一个素数）梅森素数怎么可以随便漏掉呢？
这是非常不合理的，是第一个致命的漏洞。
“周猜”为了避免这个矛盾，才改为现在的繁琐表述（这样表述就是k=0已经到了最小值，你总不能“不讲理”让人家把k取值“-1”吧。），但因为实际规律并不是猜测表述的这样，所以顾此失彼就是必然的。
3、取样如盲人摸象：
对于梅森素数的猜测，我们仅仅有45个“宝贵”数据可作验证依据，要取样分析，就尽可能把45个样本都用上。而“周猜”由于分区取样跨度太大，仅仅能取这45个数据中的4个，这样得出的结果无异于盲人摸象，根本不可能具有一般性。而“周猜”之计算数据所以能够与实际数据0误差验证，除了第一个因素之外，则完全是因为这样的误差在初始阶段很小刚好在k的范围之内，才导致这样的偶然情况出现。不过对于“周氏”来说也是“情有可原”的，因为“周猜”提出于1992年，那时候也就才发现31，32个素数。所以基本全部验证正确。
周式强调的是k必须取整数，虽然对于k来说只有取整数计算值才能是整数，但作为一个表达式如果是正确的，当k不取整数时也必须要与实际数据基本吻合才合理。
也就是说，我们也只要将k不取整数随便检验一下现有数据就可以轻易地验证这个猜测是不可能“全部”为0误差的：
由表1可知，“周氏分区”的k=0点等价于“斯露分区”r=1为开始点，并有r=2、4、8、16点对应k=1，2，3，4。
我们不妨从“斯露点”的r=1.5开始，按“周猜”的跨度，取r=3、6、12、24即n=1,2,4,8点为k’=1，2，3，4。
r=1.5至3（n=1）有3个素数（M_3,5,7），根据“周猜”分区规律并用“周式”计算，n=1至2区间应该有2*3+1=7个素数，而这个区间有5个素数；
n=1至2区间有5个素数，根据“周式”计算，n=2至4区间应该有2*5+1=11个素数，而这个区间有9个素数；
n=2至4区间有9个素数，根据“周式”计算，n=4至8区间应该有2*9+1=19个素数，而这个区间有21个素数。
再验证一下周式：
取r=24,则k≈4.58.周式计算得2*24-4.58=48-4.58=43.42。实际数据为40，多了3.58。
差距这么大，怎么可能保证k为整数时全部为0误差呢？
这已经清楚地表明，客观规律与“周猜”不是一回事儿。“周猜”的0误差完全是巧合现象。
而“斯猜”则不同，它是全部可以用45个数据验证正确的。
我们不妨再把“周式”统一为“斯式”的形式，便可用斯式小区间作更细致的验证对比——
r π(M_x) 5/3*r±Δ 2r-k’
1 2 1.7 +0.3 2-0
2 3 3.3 -0.3 4-1 k’=k
3 5 5 +0.0 6-1
4 6 6.7-0.7 8-2 k’=k
5 9 8.3 +0.7 10-1
6 10 10 +0 12-2
7 13 11.7+1.3 14-1
8 13 12.3 +0.7 16-3 k’=k
9 13 15-2 18 -5
10 15 16.7-1.7 20-5
11 16 18.3-2.3 22-6
12 19 20-1 24-5
13 21 21.7-0.7 26-5
14 24 23.3+0.7 28-4
15 27 25+2 30-3
16 28 26.7+1.3 32-4 k’=k
17 30 28.3+1.7 34-4
18 32 30+2 36-4
19 32 31.7+0.3 38-6
20 34 33.3+0.7 40-6
21 36 35+1 42-6
22 38 36.7+1.3 44-6
23 39 39.3-0.3 46-7
24 40 40+0 48-8
25 45 41.7+3.3 50-5
表4
显然，“周猜”的误差绝对不是k=1、2、3、4、…那样的简单规律。
反观“斯猜”，误差正负相间，其主项几乎刚好在中间。假如“三舍六入”将小数部分去掉，那么在25个点中就有15个点的误差≤１．并有7个0误差点，与实际值吻合程度是惊人的。这样的规律与素数分布的规律完全一致。
孰是孰非已一目了然。
4、推理：周猜当k≥5时不可能成立
“周猜”主项与“斯猜”主项的误差为2r-5/3*r=1/3*r
“周猜”成立的充要条件为：Δ+k=1/3*r
“周猜”成立的必要条件为：Δ(max)+k≥1/3*r
由表5可以查得最大的Δ并表为Δ(max)（三舍六入取一位小数）有：
r=4, k’=2,Δ(max)=0.7， 2-0.7=1.3 ，
r=7, k’=2.8,Δ(max)=1.3， 2.8-1.3=1.5
r=9, k’=3.2 ,Δ(max)=2， 3.2-2=1.2，
r=11, k’=3.5 ,Δ(max)=2.3， 3.5-2.3=1.2
r=25, k’=4.7,Δ(max)=3.3， 4.7-3.3=1.4
可知有 ,Δ(max)0.
因为“周猜”成立的必要条件是Δ(max)+k≥1/3*r。k≤4时能够满足必要条件，且刚巧当k为整数时有Δ+k=1/3*r。
所以，当k≤4时“周猜”成立。
而当k≥5时，因为有
1/3*r>2k=2log(r), k≥5
即
r>6log(r), r≥32
所以“周猜”当r≥32即k≥5时因为不能满足必要条件而不可能成立。
所以，“周猜”仅可能有目前验证的k=0，1，2，3，4五个数成立。
推理毕。
其实我们不用等到r=32，再精确一点，由表4可以看出，当 r≥19时，即因为“周猜”已不可能满足条件1/3*r>Δ+k’而不可能成立了。（1992年“周猜”提出时，梅森素数刚巧发现到此点。）
退一步讲：
或曰，你估计的Δ(max)太小了吧，如果Δ(max)是2k、3k呢？
我们说，作为一个猜测结果的误差项，这个估计只能根据现有数据得出，所以这个估计是合理的且基本可以肯定还是保守的。更重要的是Δ(max)估计的大小对推理没有关系——
例如，设Δ(max)<2k,虽然k=5时可以满足必要条件，k≥6时即有r>9log(r),r≥64.
即使设Δ(max)<10k,k≥9时也有r>33log(r),r≥512.
因为显然对于任意的c总有
r>clog(r),r≥r_0
成立，“周猜”均不可能成立。
再退一步：
即使周式的误差项不是k，而是一个变量，也就是“周猜”的误差值总可以满足必要条件，“周猜”也同样不可能成立。因为随着数字的增大，Δ(max)逐渐增大，但实际误差Δ并不确定，所以对于每一个k来说，“周猜”成立的几率也仅有2Δ(max)分之一，所以“周猜”成立的几率越来越小并可至无穷小，也就是“周猜”成立的几率等于0。再想“碰巧均成立”是完全不可能的。
一句话，主项如果是错误的，任何的误差项都是不可能弥补的。
r=26、27区间素数个数预测：
由于第25个区间的素数个数为5已经稠密到了“极点”，结合以上的分析预测：
第26个区间的素数个数为0的几率为0.6，为1的几率为0.35，为2的几率为0.05。
第26至27两个区间的素数个数为0的几率为0.2，为1的几率为0.4，为2的几率为0.3，为3的几率为0.1。
也就是这两个区间的素数个数可能仅有0至3个，会出现相对稀疏的现象。
k=5时梅森素数个数预测：
斯式计算：32*5/3=53.3，加减误差值，实际值应为50至57个。与周猜的计算2*32-5=59个至少相差2个。
结论
“周氏猜测”不单是不准确的问题，而是一个完全错误的猜想，就更别提什么“数学美”了！
五、“斯露猜想”的更完美表述：
命π(M_x)表示不大于2^x的梅森素数的个数，设r=log(x),则有
π(M_x)_y=5/3*r±Δ，Δ |
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狗仔卡
发表于 2007-12-7 19:42
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