一种满足交换律和结合律的三元数

luyuanhong

acting

辛苦了 辛苦了

数学小不点

luyuanhong老师： 你好!祝贺您取得的又一新成果！新数系确实是从方程组理论入手开始研究的，你一下子就抓住了问题的要害。 试图用公理化的办法创造另一种三元数，这已是非常专业化的研究方法。不过，刚发现另一种三元数，很难一下子提出各种合适的公理来，这种新理论或许需要充实另一些新东西才行。 你提到的在<数学中国>网站上白烁星与韩江燕撰写的“超越复数的三元数-从复平面到三维数空间”这篇关于数系理论的颇有争议的论文，其实，在这篇论文中，对上述的条件九也是不满足的，与条件三一样，必须符合论文中提到的更加微妙的条件才行，我理解，论文作者的本意是阐述一种数形合一的有趣的思想，从代数几何化的观点来阐明数学见解，利用三元数代数形式与三角形式统一的关系自然而然的将复数推广至三维空间，因几何语言较为形象，这样更简单、直观，对未知事物能留有更大的余地。 公理化总是在一定的数系范围内建立的，若承认三元数理论，完全可以在三维空间的前提下首先建立各种公理，然后再放到复平面上研究其性质，过去，对域公理的提出是在总结自然数性质的基础上作出的，一旦出现新的情况，比如数系扩大，这时对新数系需要提出什么样的公理，值得进一步探讨，域公理的提出是否合理，域的定义是否需要修正也值得深究，一种数可以作加、减、乘、除等四则代数运算，能不能干脆定义为数域呢？ 与其将复平面上的结论简单推广至空间，不如，直接将空间研究清楚后，再缩小到平面上岂不更符合逻辑，更容易让人接受？ 简言之，既然已找到了多种三元数，不妨仔细三元数的各种性质，建立必要的公理后，尽可能多的去推出各种定理来。 愿与你共同探讨之。 [br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=- 哈密顿的四元数理论中，n次多项式的根可以多于n个，三元数理论中也有这种情况发生。

luyuanhong

楼上的见解很有道理。十分欢迎大家一起来对这种三元数作进一步的探讨研究。

下面，我推导出了一个三元数的三角表达式（类似复数的三角表达式）。

利用这个三角表达式，可以很方便地进行三元数的相乘、相除、乘方和开方运算：

数学小不点

luyuanhong老师：
     经验证，你的推导是没有错误的，-1确实没有平方根，因为必须要满足a^2+2b^2=-1,a^2+2c^2=-1，b=c才行，而在实数范围内这是不可能的，结论有些意外！河南屈鹏展老师的三元数理论所用的模或权值与你的定义类似，他的定义是：x^3-y^3+z^3+3xyz，推导过程也用到了代数学中的矩阵理论及线性变换理论。
    数学与物理不同，能够在逻辑上成立，且符合完备性、相容性的理论一般就认为是正确的，不过，如果-1没有一个合理的平方根，完备性虽然没有问题，与原复数理论的相容性就不易做到了，当然，仅一家之言，余我们再探讨！
     理想的情况是在新理论中能够对旧复数理论的一些结论作出更合理的解释或在三维空间中得到更一般的定理，从而将复数理论作为一种推论，促使我们对数系进行更深刻的理解，进而推动数学的向前发展，这些，在《超越复数的三元数-从复平面到三维数空间》中都做到了。
    1. 关于结合律，得到结论是三元数（相同或不同）同在一个数平面上才能满足，因复数位于倾角为0的数平面上，故，复数满足结合律，反言之，要求数空间中所有的数均满足结合律是不妥当的，也是不可能的，需分情况讨论才行，复数恰好符合成立的条件。
    2.关于零因子，令p1=a+bi+cj,p2=x+yi+zj,则，p1*p2=0的充要条件是：p1、p2至少有一个为零，或者，a=x=0,且，by+cz=0,如在复数范围内讨论，c=z=0成立，此时，by=0的条件，当然有b=0或y=0,从而，与复数理论一致，得出，a=x=0,且b或y为0，也就是，至少有一个数为0，这样，三元数理论的定理中，已包含了复数范围内的情形，复数范围内的结论就成了三元数理论中的特例。
    综合来看，从更一般的角度，《超越复数的三元数-从复平面到三维数空间》中对三元数的解释，已能基本满足楼主提出的九个条件（从更一般的理论解释中）。
    不知luyuanhong老师以为如何？
    非常感谢luyuanhong老师在《数学中国》网站上，对我们大家的指导和帮助！
    [br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
只需将数平面的概念推广到超平面，数系就可以从三维数空间推广至N维数空间，其中三维数空间中的结论是最关键的，（定义i*j=0,在数的高维空间，可定义不同的数的坐标乘积为0，相同的数的坐标乘积为-1即可，其他结论皆可从三维数空间推出，N元数依然有一个优美的三角形式，pn=a0+a1i1+a2i2+…+an-1in-1=r[cosθ+sinθ（i1cosφ1+ i2cosφ2+…+ in-1 cosφn-1）],其中，in* in=-1, in* im=0.[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
当然n与m为整数[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
确切的说：n与m为正整数[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
应是单位坐标的乘积更好！[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
称为单位元似更令人满意，也更有丰富的内涵。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
相同的单位元乘积为-1，不同的单位元乘积为0，从最简单的定义出发，就可以建立非常复杂、有趣的数系理论。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
对形如p=a+bi+cj的三元数,a、b、c称为三元数的坐标，1、i、j称为三元数的坐标的单位元，1是一个特殊的单位元，与任何其他单位元相乘仍得该单位元，这样定义就更合理了。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
对N元数的定义也是如此，这样就可以得到一个统一而有趣的理论了！
p=a0+a1i1+a2i2+...+an-1in-1=r[cosθ+sinθ(i1cosφ1+i2cosφ2+...+in-1cosφn-1)][br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
p写成pn更准确！

luyuanhong

我上面介绍的这种三元数，与复数也是有关系的，从某种意义上说，也可以认为它是复数的推广。

我给出了两个“翻译公式”，建立了这种三元数与复数之间的相互关系。

要在三元数中进行复数运算，只要将复数翻译成三元数，按照三元数运算，求出结果后，再翻译成复数，就可以了。

通过这种翻译，在三元数中，像在复数中一样，同样可以求得复数 x=-1 有两个平方根，为 ±√(-1) 。

参看我在《数学中国》论坛上发表的帖子：

“满足交换律和结合律的三元数与复数的关系”

http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=3776

luyuanhong

关于这种三元数的几何意义，请看我在《数学中国》论坛上发表的帖子：
“满足交换律和结合律的三元数的几何意义”
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=3780

zhaolu48

楼主给出的复数，“零元”太多了吧？
比如：
|2-i-j|=0，
对于任意的a+bi+cj，只要a+b+c=0都有：
|a+bi+cj|=0。
因此对于任意三个复数
a+bi+cj, d+ei+fj, p+qi+rj
不能保证
|(a-d)+(b-e)i+(c-f)j|+|(d-p)+(e-q)i+(f-r)j|≥|(a-p)+(b-q)i+(c-r)j|。

luyuanhong

楼上 zhaolu48（赵录）先生发表的看法，确实很有意义，看到了这种三元数与普通的实数、复数不一样的地方。

我在《一种满足交换律和结合律的三元数》帖子的一开头，就说明了：一个数系，要成为一个域，必须满足 9 个条件。

可以证明，像复数域这样的二元数域，是能够同时满足这 9 个条件的最大的一个域，不可能再作进一步的扩张了。

所以，要从复数这样的二元数，扩张到三元数、四元数，就必须做一些放弃，不可能再要求它同时满足以上 9 个条件。

白烁星、韩江燕在《超越复数的三元数——从复平面到三维数空间》一文中，提出一种三元数，可以看作是复数的扩张。

在这种三元数中，乘法运算不满足结合律，同时还存在零因子，放弃了 9 个条件中的第（3）个和第（9）个条件。

汉密尔顿（Hamilton）提出的四元数，也是一种复数的扩张。

在这种四元数中，乘法运算不满足交换律，放弃了 9 个条件中的第（2）个条件。

我介绍的这种三元数，能够满足交换律，也能够满足结合律，能够满足 9 个条件中前面的 8 个条件，

但是放弃了最后一个第（9）个条件，即“不存在零因子”这个相对来说不太重要的条件。

注意：“零因子”与“零元”是有区别的。

“零元”是对任何 x 能够满足 x＋0＝x 的元素。在我介绍的这种三元数中，“零元”只有唯一的一个，就是 0 。

“零因子”是本身 x≠0 、y≠0 而有 xy＝0 的元素。在我介绍的这种三元数中，“零因子”可以有无数多个。

事实上，一个非零三元数 x＝a＋bi＋cj ，只要满足 (1) a＋b＋c＝0 或者 (2) a＝b＝c ，就一定是一个“零因子”。

从这一点来看，我介绍的这种三元数，与普通的实数、复数相比，确实有很不一样的地方。

下面讨论关于这种三元数的模的问题：

zhaolu48

　　《近世代数》中，能够成为“群”的首要条件是，单位元唯一。
　　对于可换群的单位元，也可称为零元。
　　能够成为环，也是在加法运算中，“零元”唯一；在定义的乘法运算中，单位元唯一。
　　因此，楼主创立的“三元数”的运算，既不能构成环，也不能构成群。不能构成环，当然就更不能成为域了，因为乘法可换的除环才是域。
　　不能构成“群”、“环”、“域”，定义的的运算意义不会太大吧。
　　哈密顿的四元数，只是乘法不满足交换律，即是一个不可换的除环，称为“体”。在《近代》“体”的例子就是四元数。
　　楼主创立的“三元数”在定义了模后，再给出了“三角”形式。“三角”形式表示的三元数，实质上是二维的，因为三个“角”是两两线性相关的，即只有一个自由变量，再加上“模”，计两个自由变量，因此是二维的。而a+bi+cj是三个自由变量，即是“三维”的，因此把其化为三角形式时，是给“减维”了。
　　四元数是否定义了模，我不清楚。如果楼主只定义运算，不定义模，可能会更好些。
　　“模”为“零”的“数”却不等于“零”，说服力会大大减弱。
　　a+bi+cj所定义的加法运算，实质上就是向量的运算，其单位基为“1,i,j”，
从而对应的向量的模为sqrt(a^2+b^2+c^2)(当然这是对于欧氏空间而言)。