ｎ元数的矩阵表示及其在ｎ元数乘方、开方运算中的应用

luyuanhong

我经过研究，推导出了ｎ元数的矩阵表示法。

ｎ元数的加、减、乘、除运算，与矩阵表示的加、减、乘、除运算，有一一对应的关系。

ｎ元数的模的ｎ次方 ，就是它的矩阵表示的行列式的绝对值。

对这种ｎ元数的矩阵表示，可以作特征分解。利用特征分解式，可以进行ｎ元数的乘方和开方运算。

参看我在《数学中国》论坛上发表的帖子：

“一种满足交换律和结合律的ｎ元数”

http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=3797

luyuanhong

我用 n 元数的矩阵表示式的特征分解，推导出了 n 元数的指数、对数和三角函数的计算公式。

参看我在《数学中国》论坛上发表的帖子：

“ｎ元数的指数、对数和三角函数”

http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=3810

luyuanhong

一个网友看了我在《数学中国》发表的有关ｎ元数的帖子后，问我：是否能求ｎ元数的奇异值？
我在下列帖子中作了答复：
“ｎ元数的矩阵表示的奇异值”
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=9425

luyuanhong

参看我在《数学中国》论坛发表的帖子：

http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=9432

“ｎ元数的对数的多值性”

zhaolu48

[这个贴子最后由zhaolu48在 2010/04/24 02:02pm 第 1 次编辑]

对于您的四元数有i^4=1，因此i^2是1的一个平方根，又因i^2≠1，因此i^2=-1。
从而i^3=i^2*i=-i。
因此
x=1+i+i^2+i^3=1+i-1-i=0。
所以
x^(1/2)=±(1+i+i^2+i^3)/2=0。

luyuanhong

下面引用由zhaolu48在 2010/04/24 02:00pm 发表的内容：
对于您的四元数有i^4=1，因此i^2是1的一个平方根，又因i^2≠1，因此i^2=-1。
从而i^3=i^2*i=-i。
因此
x=1+i+i^2+i^3=1+i-1-i=0。
所以
x^(1/2)=±(1+i+i^2+i^3)/2=0。

赵录先生说：“i^2 是 1 的一个平方根，又因 i^2≠1，因此 i^2＝-1。”
这种说法，在复数中是成立的，在复数中，1 只有两个平方根，不是 1 就是 -1 。
但在四元数中，这种说法，却是不成立的。在四元数中，x＝1 有下列 8 个不同的平方根：
    x^(1/2)＝±1 ，±i^2 ，±(1+i-i^2+i^3)/2 ，±(1-i-i^2-i^3)/2 。
你可以验证一下：
(±1)^2＝1  ，
(±i^2)^2＝i^4＝1 ,
［±(1+i-i^2+i^3)/2 ］^2＝(1+2i-i^2+3i^4-2i^5+i^6)/4＝(1+2i-i^2+3-2i+i^2)/4＝1 ，
［±(1-i-i^2-i^3)/2 ］^2＝(1-2i-i^2+3i^4+2i^5+i^6)/4＝(1-2i-i^2+3+2i+i^2)/4＝1 。
在四元数中，i^2 与 -1 是完全不同的两个数，不能把它们等同起来。
只有当我们作一个“投影”，把四维立体空间中的四元数，投影到二维的复数平面中去，
令 i＝√-1 ，这时才会有 i^2＝-1 。
四元数中 x＝1 的 8 个不同的平方根，只有投影到复数中去，才会变成两个平方根：±1 。

zhaolu48

[这个贴子最后由zhaolu48在 2010/04/26 11:04am 第 1 次编辑]


i^n=1
  i(1+i+i^2+…+i^(n-2)+i^(n-1))=1+i+i^2+…+i^(n-2)+i^(n-1)
=>i(1+i+i^2+…+i^(n-2)+i^(n-1))-(1+i+i^2+…+i^(n-2)+i^(n-1))=0
=>(i-1)(1+i+i^2+…+i^(n-2)+i^(n-1))=0
因i≠1，因此
1+i+i^2+…+i^(n-2)+i^(n-1)=0
从而{a(1)+a(2)i+a(3)i^2+…+a(n)i^(n-1)}至多是n-1元数集。

luyuanhong

下面引用由zhaolu48在 2010/04/26 11:03am 发表的内容：
i^n=1
  i(1+i+i^2+…+i^(n-2)+i^(n-1))=1+i+i^2+…+i^(n-2)+i^(n-1)
=>i(1+i+i^2+…+i^(n-2)+i^(n-1))-(1+i+i^2+…+i^(n-2)+i^(n-1))=0
=>(i-1)(1+i+i^2+…+i^(n-2)+i^(n-1))=0
因i≠1，因此
1+i+i^2+…+i^(n-2)+i^(n-1)=0
从而{a(1)+a(2)i+a(3)i^2+…+a(n)i^(n-1)}至多是n-1元数集。

在实数和复数中，因为不存在零因子，所以，当 ab＝0 时，从 a≠0 可以推出必有 b＝0 。
但是，在 n 元数中，存在零因子。存在零因子的意思就是说：有 a≠0 ，b≠0 ,但 ab＝0 。
所以在 n 元数中，当 ab＝0 时，从 a≠0 不能推出必有 b＝0 。
在 n 元数中，1+i+i^2+…+i^(n-1) 恰好就是一个零因子，所以，虽然有
（i-1)[1+i+i^2+…+i^(n-1)]＝0 ，而且 i-1≠0 ，但是不能推出 1+i+i^2+…+i^(n-1)＝0 。

zhaolu48

哈密顿的四元数可进行四则运算，惟一的缺憾是乘法不满足交换律。
但不存在零因子。
因此称为四元数体。
四元数的另一个缺憾是，除法要解四元一次方程组。
因为乘法不满足交换律，因此没有乘方运算，从而更没有开方运算了。
做为“数”来说，存在零因子似乎不太合理。当然“数”的概念也许可以这样扩充。
您的四元数，M(x)存在奇异矩阵，或称非满秩阵，或非可逆阵，即对应行列式值等于零。
线性代数中，线性变换都是以非奇异阵为基础的，对奇异阵的线性变换是要做具体分析的。

luyuanhong

下面引用由luyuanhong在 2010/04/24 05:33pm 发表的内容：
赵录先生说：“i^2 是 1 的一个平方根，又因 i^2≠1，因此 i^2＝-1。”
这种说法，在复数中是成立的，在复数中，1 只有两个平方根，不是 1 就是 -1 。
但在四元数中，这种说法，却是不成立的。在四元数中，x＝1  ...

参看我在《数学中国》论坛发表的帖子：

“ｎ元数中数字 1 的平方根”

http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=9489