这道几何证明题确实很难

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2008/05/14 03:08pm 第 1 次编辑]

“永远没完”在东陆论坛『意见交流』分论坛中，发了一个帖子：“[求助]这道题太难了”，给出了一道几何证明题，征求解答。
http://www.channelwest.com/bbs/showtopic.asp?TOPIC_ID=30623&Forum_ID=14
下面是我对这道题的证明：

Denglongshan

用复数很容易

cipex

[这个贴子最后由cipex在 2008/06/08 09:18pm 第 1 次编辑]

我这个跳了不少的步骤，不过应该是对的：
作∠BPD的平分线PF，过A作PF的平行线交BC于G，交BP于H
∵∠BPD=∠BAC
∴∠ABP+∠BAP=∠BAC
∴∠ABP=∠PAC
∵PF平分∠BPD，∠DPC=∠BPD/2，AG平行于PF
∴∠CPD=∠BPF=∠BHG
∴180°-∠CPD=180°-∠BHG
∴∠AHB=APC
∵AB=AC
∴三角形ABH和三角形ACP全等
∴三角形ABH和三角形ACP面积相等
若设∠ABH=x，∠BAH=y，则∠PAC=x，∠PCA=y，∠AHP=x+y，∠BHG=∠AHP=x+y。
∵AG平行于BF
∴∠BPF=∠BHG=x+y
∵PF平分∠BPD
∴∠BPD=2∠BPF=2x+2y
∴∠HAP=∠BPD-∠AHP=x+y
∴∠HAP=∠AHP
∴三角形AHP是等腰三角形
∴HP=AP
又有BH=AP
∴BH=HP
∴三角形ABH的面积和三角形AHP的面积相等
∴三角形ABP的面积是三角形AHP面积的两倍
∴BD=2DC

sotheray

（我把p改成了e）
过A垂直BC的直线交BC于G
是BC的中点
过B平行CA的直线交GA于J
过C平行GA的直线交BA于H
∠CAJ=∠BJA
∠JAB=∠CHB
∠BGA=90°
∠HBC=∠BCA
△ABG≌△ACG
∠JAB=∠CAJ
∠CAJ=∠CHB
∠CHB=∠BJA
∠BCH=90°
△BCH∽△BGJ
JG/CH=1/2
A是BH的中点
△ABJ≌△ACJ
∠HBJ=∠JCA
△ABJ≌△JCA
CA=JB
AH=CA
AH=JB
BH/JB=2
BH/CA=2
∠CAB/∠CED=2
∠CED=∠JAB
∠CED=∠CHB
A、E、C、H四点共圆.
∠ECA=∠EHB
在直线CD上取一点F使得CF=BD
△ACD≌△ABF
∠CAD=∠FAB
∠HBI=∠FAB
∠CAD=∠HBI
△ACE∽△BHE
2CE/EH=1/2
EA/BE=1/2
∠CAB+∠HBJ=180°
∠DEB+∠HBJ=180°
△ABE∽△JHB
∠DAB=∠BJH
∠BCA=∠CBJ
△ACD≌△JBF
∠CAD=∠BJF
DA=FA
G是FD的中点
∠DAJ=∠JAF
△ADJ≌△AFJ
∠FJA=∠AJH
∠BJA=∠AJC
∠BJD=∠FJC
∠CAD=∠DJC
∠CAJ=∠AJC
∠JAB=∠BJA
∠CAB=∠BJC
∠DAB=∠BJD
∠AJH=∠CHJ
∠AJH=∠CHJ
∠AJH=∠CHJ
∠AJH=∠CHJ
△CDH∽△GDJ
GD/DC=1/2
BD/DC=2
(证毕)

Denglongshan

http://forum.cnool.net/topic_show.jsp?id=4681136&oldpage=1&thesisid=494&flag=topic1说这是道初中联赛题.

denglongshan

http://forum.cnool.net/topic_show.jsp?id=4681136&oldpage=1&thesisid=494&flag=topic1 的一位网友给出了一种简洁的证明方法.下面是我的证明:

ccmmjj

愚蠢的驴子 收集资料的能力不错,上图我见过,是东陆论坛的胡俊华的手笔.胡俊华数学技艺高深,不是一般人可比的,只是东陆封坛以后,不知此人去处,若有同好知道的,还望相告.

ccmmjj

十分谢谢.