我怎样看“0”和“无穷小量”的关系

luyuanhong · 发表于 2008-8-28 09:45

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/03/08 03:10pm 第 1 次编辑]

怎样看待“0”和“无穷小量”？这是一个使得许多人感到困惑的问题。
在标准的微积分、在正统的数学中，其实是不承认有“无穷小量”存在的。在一般常见的数学书中，有时候也会说到
“无穷小量”，不过是作为一个临时的通俗的说法，代替复杂的“ε，δ”、“ε，N”说法，并不等于承认有“无穷小量”。
由于在正统的数学中不承认有“无穷小量”的存在，所以，一个数，要么是 0 ，要么不是 0 ，没有其他选择；两个数量，
要么相等，要么不相等，没有其他选择；两条直线，要么平行，要么不平行，没有其他选择；钟面上两根指针，要么重叠，
要么不重叠，没有其他选择；平面上的一条线，要么是直线，要么不是直线，没有其他选择；等等。用这样的观点看问题，
会引起许多难以解释的矛盾，会产生许多无法说清楚的疑问。数学网站中，大家争论不休的问题，往往就是由此而来的。
上个世纪60年代，数理逻辑学家阿伯拉罕·罗宾逊（Abraham Robinson，1918-1974，生于德国的犹太人，1962年去美国）
提出一种“非标准分析（Nonstandard Analysis）”。
在“非标准分析”中，把“无穷小量”“无穷大量”作为实在的数学概念、数学对象引入到数学中。实数域中引入了
“无穷小量”“无穷大量”后，扩充成为“超实数（Surreal Numbers）”。“无穷小量”“无穷大量”像普通实数一样，
可以进行各种运算，可以比较大小。罗宾逊严格证明了，这样做，在数理逻辑上不会发生任何矛盾，不会出现任何悖论。
我在几十年以前，在读大学的时候，就学习和研究过“非标准分析”。根据“非标准分析”的观点，再加上我自己的体会，
我得出了这样一种结论：
数学中的“0”，其实可以分为两种：一种是“真正的绝对的零”，另一种是“（非零）无穷小量”。一个“无穷小量”，
如果要求它的数值，问它的数值等于什么，可以说它“等于0”。但它并不是“真正的绝对的零”，它与“真正的绝对的零”
有许多不一样的地方，例如，“真正的绝对的零”不能做分母，而“无穷小量”可以做分母；“真正的绝对的零”乘以任何
数（包括“无穷大量”）都等于 0 ，“无穷小量”乘以“无穷大量”却不一定等于 0 ；等等。正因为“无穷小量”并不是
“真正的绝对的零”，所以又可以说它“不等于零”。
由我上面提出的结论，可以进一步推出：
数学中的“相等”，可以分为两种：一种是“真正的绝对的相等”，另一种是“相差一个无穷小量的相等”；
两条直线的“平行”，可以分为两种：一种是“真正的绝对的平行”，另一种是“两直线夹角为一个无穷小量的平行”；
概率论中的“零概率事件”，可以分为两种：一种是“绝对不可能发生的事件”，另一种是“有可能发生但发生概率是
一个无穷小量的事件”；等等。
用这种观点去看问题，许多引起疑惑的问题都可以得到解决。

zhaolu48 · 发表于 2008-8-28 10:44

赞同楼主的观点。
这与我在尚先生[茶余饭后] 无穷大圆之圆周是曲线呢? 还是直线？上的跟帖观点基本一致。
我的跟帖如下：
圆的半径为无穷大，则圆的曲率为无穷小。
无穷小是否等于零，这只能从相对角度看，如果是两个无穷小比较，可认为它们的绝对值大于零，如果一个无穷小与一个有限非零实数比较，比如说计算中，计算值与真值的误差是无穷小，就可认为这个误差是零，也就说这时的无穷小与零没有区别。
无穷小属于无限范畴，只有在无限运算中，才能体现出非零的特性，在有限运算中是体现不出其非零的特性的，也就是说相对于有限运算，无穷小就是零，因此半径为无穷大的圆周是直线，因为其曲率等于零。
特别是在射影几何中，把直线就定义为封闭的，直线上的一点不能把直线分成两部分，因此从射影几何有角度看，直线就是半径为无穷大的圆。

申一言 · 发表于 2008-8-28 11:05

[这个贴子最后由申一言在 2008/08/28 11:10am 第 1 次编辑]

下面引用由zhaolu48在 2008/08/28 10:44am 发表的内容：
赞同楼主的观点。
这与我在尚先生无穷大圆之圆周是曲线呢? 还是直线？上的跟帖观点基本一致。
我的跟帖如下：
圆的半径为无穷大，则圆的曲率为无穷小。
...

直线就是半径为无穷大的圆。
*************************?
那S=πr^2
∏=4R 那里去了???????????

申一言 · 发表于 2008-8-28 11:29

啊!
  中国的数学向何处去?
注意!在纯粹数学中0不是数(单位)!是点!
   1.在单位圆中只有圆心为0,表为⊙o的圆心!
   2.在数轴上只有始点表为0!0-1-2-3-,,,,,,,-n,,,,
   3.,,,,,,,
   *
   *
   *
   n.零不在几何图形的任意处!
当然也不存在"无穷小量"和"无穷大量"
如:地球不能装下太阳!
   可是地球上的一张纸,那怕0.0001mm^2也能画出太阳来!?
      不是有人在头发丝上刻出唐诗300首吗?

luyuanhong · 发表于 2008-8-28 11:40

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/03/08 03:13pm 第 1 次编辑]

半径为无穷大量的圆是不是直线？这个问题，按照我在 1 楼中提出的观点，很容易解决。
按照我的观点：“直线”可以分为两种，一种是“真正的直线”，另一种是“与真正的直线的差别为无穷小量的曲线”。
“半径是无穷大量的圆”就属于第二种，即“与真正的直线的差别为无穷小量的曲线”，它与“真正的直线”是有区别的，
从这个意义上，可以说：“半径为无穷大量的圆不是直线”。
但是，“半径是无穷大量的圆”与“真正的直线”的差别是无穷小量，如果认为两个量相差一个无穷小量，就算“相等”，
两个几何图形，处处相差一个无穷小量，就算“相同”，那么，从这个意义上，又可以说：“半径为无穷大量的圆是直线”。

申一言 · 发表于 2008-8-28 12:02

啊!
鄙人不敢苟同!
若说在某一单位内(弧度长)渐进等于直线还差不多?
因为在现实中任何人也画不出直线?
因为在现实中任何人也点不出一个点!因为点无大小!
无论你的工具的尖端多么细小?
只要你一点!那就是"无穷大"!?
她包含正整数(单位)群!
U(P)={[Apqr...(Np+Nq+Nr+...+Ni)+48]^1/2-6}^2
她包含宇宙!

申一言 · 发表于 2008-8-28 12:12

请问?
圆周长已是直线,该圆的外切正方形以及内接正方形那里去了?
中国有句名言----没有规矩不成方圆!
反之------------没有方圆则不成规矩亦!

肤浅的看法,请批评指教!
谢谢!

luyuanhong · 发表于 2008-8-28 17:02

[这个贴子最后由luyuanhong在 2008/08/28 05:36pm 第 1 次编辑]

  我在上面第 5 楼中已经陈述过我的观点：
“半径是无穷大量的圆”，与“真正的直线”是有区别的，从这个意义上，可以说：“半径为无穷大量的圆不是直线”。
  从“非标准分析”的观点看来，“半径是无穷大量的圆”，仍然是一个圆，只是它的半径 R 是一个无穷大量而已。它的
周长仍然可以用公式 C=2πR 求出，它的面积仍然可以用公式 S=πR^2 求出，只不过这里的周长和面积都是无穷大量。
                                                                                                      _
“半径是无穷大量的圆”也有外切正方形和内接正方形。它的外切正方形的边长是 2R ，它的内接正方形的边长是 √2 R ，
                        _
只不过这里的边长 2R 和 √2 R 都是无穷大量，外切正方形和内接正方形都是“无穷大量边长正方形”而已。

申一言 · 发表于 2008-8-28 17:15

[这个贴子最后由申一言在 2008/08/28 09:55pm 第 1 次编辑]

谢谢陆教授耐心的教导!
请注意√2R?(应该是r吧?)

谢谢!

申一言 · 发表于 2008-8-28 18:21

[这个贴子最后由申一言在 2008/08/28 06:22pm 第 1 次编辑]

请问?
一个单位圆,r=1,2,3,,,,n,,,
当n→∞时,其外切正方形与该圆是否也只有四个切点?
若此时圆是直线?则有x＞4个切点!
但那是不可能的!(证明略)

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