[闲谈] 直线长度从何而来?

尚九天

      直线由无穷多个点组成,
      直线长度大于0,
      点的长度等于0,
      无穷多个0之和仍然是0,
试问：
      直线的长度从何而来?

尚九天

    点的长度等于0,而非无穷小.
    无穷多个0长度之和,怎么就会出现正的长度了呢?

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2008/08/30 08:46am 第 1 次编辑]

楼主这个问题问得很好 。
“一段直线由无穷多个点组成，每个点的长度都是 0 ，无穷多个 0  的总和还是 0 ，为什么这段直线的长度不是 0 ？”
在传统的数学、在标准的微积分中，因为不承认有“无穷大量”“无穷小量”的存在，所以确实很难回答这个问题。
但是，如果我们从“非标准分析”的观点来看，承认有“无穷大量”“无穷小量”的存在，就很容易解决这个问题。
    从“非标准分析”观点来看，我们平时所说的“0”，其实可以分为两种：
一种是“真正的绝对的零”。这种“真正的绝对的零”不允许作分母，它与任何数（包括无穷大量）相乘，结果仍然等于 0 。
另一种是“无穷小量”。这种“无穷小量”，我们从宏观上看，似乎看不出它们与“真正的绝对的零”有什么区别，所以，
在这种意义上，我们可以把他们看作就是 0 。但是，如果我们从微观上来看，用一台可以看到无穷小量的“显微镜”来看，
就可以看出，它们与“真正的绝对的零”是有区别的。“无穷小量”可以作分母。“无穷小量”与“无穷大量”相乘，结果
不一定等于 0 ：相乘结果可能等于一个无穷小量，也可能等于一个普通的实数，也可能等于一个无穷大量。
    我们平时所说的“点”，其实也可以分为两种：
一种是“作为分界点的点”，我们说“线段的中点把它分成相等的两部分”，这里说的“中点”就是“作为分界点的点”。
“作为分界点的点”，它们的长度是“真正的绝对的零”，无穷多个这样的点加起来，长度仍然是 0 。
另一种是“作为几何体组成部分的点”，我们说“一段直线由无穷多个点组成”，这里说的“点”，就属于这第二种的点。
“作为几何体组成部分的点”，又可以具体区分为“组成线的点”、“组成面的点”、“组成体的点”、…… 。
“组成线的点”有长度，它们的长度不是“真正的绝对的零”，而是一个“无穷小量”。无穷多个这样的点的长度加起来，
相当于一个“无穷小量”与一个“无穷大量”相乘，正如我们前面所说，相乘结果不一定等于 0 ：可能等于一个无穷小量，
也可能等于一个普通的实数，也可能等于一个无穷大量，到底等于多少，要针对具体问题作具体分析。
    比如说，有一条线段，已知它的长度是 a ，这里 a 是一个普通的不等于 0 的实数。我们把这条线段平均分为 N 段，
这里 N 是一个无穷大正整数。显然分成的每一小段的长度是 a/N 。由于 a 是一个普通的不等于 0 的实数，N 是一个无穷大
量，所以 a/N 是一个无穷小量。因为每一小段的长度都是无穷小量，所以可以认为每一小段都是“点”（“组成线的点”），
我们可以说：这条线段是由无穷多个（ N 个）长度为无穷小量（ a/N ）的点组成。现在要计算这条线段的长度，我们把每
一个点（每一小段）的长度乘以点的个数：a/N×N＝a ，就算出了线段的长度，就是原来的那个普通的不等于 0 的实数 a 。

数学爱好者A

只能说明一个问题！
线的长度不是由每个点的长度累加构成！

尚九天

    因为
               无穷小 = 0 ,
那么,
     是否可以把点的长度看做 无穷小 呢?

姓毛的主席

在我看来这类贴都没什么意义

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
我们说,数轴上的不重合的两点之间有无数个点
这句话没问题
比如有直线
再来比较比较
画一条直线
在直线上取一点
以此将直线分成两条直线
那么,产生新的两个端点
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
各位,好好比较
数轴中提到点
与
画直线和分为两段
中提到的点
有何不同
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
分清楚
数轴中的点
和
直线中的点
就不会困惑了

尚九天

    “在我看来这类贴都沒什么意义”
    闲谈不必強调意义,
    有闲、愿谈  即可,
    无闲、不谈  也可.

尚九天

    [定义] 点的长、宽、高皆为无穷小.
    则直线长度有出处矣!

数学爱好者A

点的长、宽、高皆为0，直线长度同样有出处！
关键是你的思维方式有问题！

尚九天

下面引用由数学爱好者A在 2008/09/03 08:28am 发表的内容：
点的长、宽、高皆为0，直线长度同样有出处！
关键是你的思维方式有问题！

先生何不谈谈你的“没问题”的思維方式?
                  ···