唯物辩证法与数学基础 第三讲

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唯物辩证法与数学基础 第三讲
4.3 实数理论改革的补充说明
①上述几个练习题都是现行数学理论中重要问题。从上述几个练习题可以看出：实数理论问题是现行数学分析的基础；但由于现行实数理论有问题，所以它们的证明都有或多或少的问题，都有不可取的地方。我在这些问题上都写有论文。例如：《三分律与数学基础》、《实数与数列极限理论的改新》、《确界定理与连续函数的两个基本定理》、《芝诺悖论与连续性数学理论的基础》。
② 实数理论的改革可以只从实数公理开始，但为了说明它的实际意义，必须在这个公理之前或之后，加上它与线段长度的真值之间的关系。
③ 为了贯彻“理论联系实践”的原则，为了给出其实践意义，我在数列极限、基本数列、等价数列几个定义中的 之前，都加上了“任意小误差界”的定语。
5点与线段、飞矢不动、基本事件的关系
摘要： 点是针对误差界的足够小；其中只有位置而没有大小的点叫做理想点．满足一定的误差界限要求的、有大小但其大小可以忽略不计的点叫做近似点．随着误差界趋向于零，全能近似点的极限是一个唯一的理想点．线段只能由近似点构成，但不能由理想点构成。讨论一个没有长度的理想瞬时上的速度没有实践意义；瞬时速度的实际意义是足够小时段上运动速度的近似值。打靶时，击中一个理想点处的可能性（即概率）也没有实践意义。
关键词：点，线段，飞矢不动，瞬时速度，基本事件的概率  
5.1点的定义与线段构成问题
    没有大小的点如何能构成有长度的线段呢？ 瞬时速度的物理意义究竟是什么？飞矢不动问题如何解决？基本事件的概率是不是0呢？为解决这些问题，笔者使用极限方法提出了太极图式的点的定义如下。   
定义5.1 只有位置而没有大小的点叫做理想点．满足一定的误差界限要求的、有大小但其大小可以忽略不计的点叫做近似点．设 为以0 为极限的误差界序列，我们称：随着这个序列逐步得到的、能近似表达一个理想点位置的“近似点”的无穷序列为全能近似点列．
公理5.1 随着误差界趋向于零，全能近似点列的极限是一个唯一的理想点．
定理5.1  康托公理即《几何基础》中的公理Ⅳ2中的线段序列的极限是一个唯一的理想点．（证明从略）
理想点与近似点之间有着相互依存的对立统一关系．从测量工作来看，尺子的端点与中点都是理想点，但理想点具有无法点出的性质；因此，在测量和绘图的实际工作中必须用近似点代替理想点．有了这个关系，不仅使得几何理论与实际测量工作联系起来了；而且从这种关系中可以看出：求瞬时速度时需要用极限方法．还可以看出：测度理论需要从区间出发、拓扑理论需要从邻域系出发的原因．
高等教育出版社，1955年出版的马忠林译，[俄] Д. И. ПЕРЕПЁЛКИН 《初等几何学教程》上卷中讲到：“位于直线上任何两点之间，有无穷多另外的点，这些点的集合，叫做线段．位于点A和B之间的所有点所组成的线段，记做AB或BA”．对于这种说法，如果我们要问“构成线段的这些点有没有大小呢？”他们就无法回答了．事实上，如果说：每一个点的大小是零，那么它们就不能构成有长度的线段；如果说它们的大小不是零，那么这种点的大小又是什么呢？由于线段长度是一个有限数，而线段上的点又是无穷多的，所以无论用多么小的正实数α表示点的大小都存在着无穷多个α不是有限数的与线段长度是有限数的矛盾问题．现在，按照我们的点定义，我们可以回答说：线段是不能由理想点构成的；线段只能用连接“有限个”有大小的近似点的方法去构造．这样就消除了这个无法回答的问题．
类似于“线段不是由理想点组成”的论述，球体、球面也不是由理想点组成的．因此，数学基础研究中的涉及选择公理的“分球奇论”也就不存在了．
5.2 飞矢不动问题
根据上述线段构成的论述（或称理论），我们就可以彻底解决“飞矢不动”的问题了．事实上，芝诺的“飞矢不动”的叙述是：“任何东西占据一个与自身相等的处所时是静止的，飞着的箭在任何一个瞬间总是占据与自身相等的处所，所以它是不动的．”仔细考虑一下这个叙述，可以发现：这个悖论是在承认“时段是由瞬间构成”的观点下得出的．现在根据我们线段构成的理论，应当说：时段只能由有大小的近似瞬间组成，但它不能由没有大小的理想瞬间组成．虽然可以说“任何东西占据一个与自身相等的处所时是静止的”，但“任何东西占据一个与自身相等的处所”的瞬间是没有大小的理想瞬间，理想瞬间不能构成任何有长度的时段．因此这个悖论就不成立了．
在解释这个问题时，有人说：“飞着的箭在任何瞬间都是既非静止，又非运动的．”这个说法是一种有矛盾的说法，因此这种解释不完满．符合实践的正确说法应当是：对于不能构成时段的绝对没有大小的理想瞬间，无论说它是静止或是运动，对飞着的箭的运动效应都没有影响．但在飞行的任何有大小的近似瞬间（即时段）上，飞着的箭总是处于运动状态的；即在近似瞬时中的不同理想瞬时上，飞着的箭占据的处所也不同．我们也可以讲，“飞着的箭在飞行的任何时刻都是运动着的”，但需要知道：这种说法中的“任何时刻”是指有大小的任何近似瞬时而不是“不能构成时段的”没有大小的理想瞬时．
总之，“飞矢不动”的悖论在我们的点的概念和我们的新的线段构成理论中得到了彻底解决；而且也只有这样才能得到彻底解决．
5.3 瞬时速度问题
这个问题已经在第一讲中讲过，这里不再赘述。
5.4概率论问题
B．B格涅坚科著《概率论教程》中讲到基本空间U时说：“至于这集合的元素究竟是什么东西，这对于概率论的逻辑发展而言是可以不加分辨的”；复旦大学数学系编《统计数学》中讲到事件体时说：“U中的某些子集（其全体记作F）作为事件”，“至于究竟需要哪些子集，则需视具体情况而定．通常不需要考虑基本空间的所有子集”．笔者认为：把基本空间的基本事件与它的某些子集排除事件体之外的做法是现在数学理论的一个缺陷．完善的概率理论至少应当解释一下“为什么不研究这些子集的原因”．此外，在分布函数表达式  的提出上也需要找出联系生产实际的理由．
进一步探讨，我们可以发现：在概率场概念中存在着一个类似于瞬时速度那样的没法回答的问题：就打靶问题来讲，每次试验（即每一次射击）击中点离靶心距离r是一个定义在[0，+∞)上随机变量．这随机变量r在[0，+∞)上取某一实数（即基本事件）的发生可能性（概率）是多大的问题，就是一个类似于“物体按瞬时速度v(t0)运动的时段长是多大呢？”的一个“既不能说它是零（这意味着是不可能事件），也不能说它不是零（这时没法说它是哪个正实数）”的一个没法回答的问题．由于现行的概率理论是建立在实数集的测度理论的基础之上的，在实数集研究中又存在着“不可测集”，所以对于连续型随机变量，除了基本事件的概率不能探讨外，还有一些基本事件的集合的概率也不能探讨．这就是复旦大学编《统计数学》中把事件体F说成是“只有某些子集构成的集合”的原因；这也是提出上述分布函数表达式的集合理论上的理由．
上述讨论说明：从研究事件发生可能性这个实际问题来讲，现行的测度理论和以这个理论为基础的概率论是不完善的．我们的以实践为基础的、具有对立统一性质的点的概念提供了改善概率理论条件．由于线段、时段等连续性现实数量具有测不准性；理想点的位置即线段长度的真值无法测定，所以我们应当以近似点代替理想点即以区间或区域为出发点去研究事件发生可能性（即概率）的问题．以打靶问题为例，击中一个理想点的事件应当是理想的基本事件．理想点依赖于近似点，因此需要首先将靶分成以靶心为圆心的圆环；然后再把每个圆环分成左、右半圆环，经过靶心做一条水平数轴，用各个左、右半圆环与数轴相交的区间表示击中各个左、右半圆环的事件，用试验去测定“击中各个左、右半圆环事件”的频率．显然试验次数越多，这个频率越来越接近于事件发生的可能性．为此，我们提出如下的公理．
公理5.2  事件发生的概率是：试验次数无限增加时，事件发生频率的趋向（一种无法使用 方法的极限）；频率是概率在试验中的表现，概率与频率两者之间有着相互依存的关系．
根据这个公理，在打靶问题上，将上述以靶心为圆心的半圆环作为近似基本事件，通过足够多次射击实验可以使用各个圆环的平均频率密度（频率除以环宽）获得打靶问题的近似分布密度曲线．根据这个近似分布密度曲线，经过分析（猜想与实验验证），可以得出打靶问题的分布是现行教科书中的 正态分布．这就是正态分布的实践依据和它在打靶问题上能够应用的实践依据．我们的这个研究，不仅可以消除现行概率论的不足之处；而且揭发了现行概率论与生产实际的关系．实践是检验真理的唯一标准，概率理论与实践的这种关系，应当受到重视和阐述．
至于连续性随机变量 取一个实数 （即基本事件）的概率问题．按照理想点是近似点的极限的概念，可以得出连续性随机变量的基本事件的发生概率为0的结论，这个结论也是有些教科书中写着的，但笔者认为：这种写法不恰当． 因为：基本事件不是不可能事件．正确的处理方法是：由于理想点具有无法分出的理想性，所以我们不需要求出基本事件的发生概率；基本事件可以用近似基本事件代替，如果以 表示近似基本事件的大小， 表示概率密度，则这个近似基本事件的发生概率可以表示为： ．从这个表达式可以看出：分布密度大的地方，其发生可能性也大．
6 无穷二字的基本意义与自然数集合的应有概念
“无穷”二字的字面意义就是无有穷尽，即是无有终了，所以我们把“无有穷尽”看作是“无穷”二字的基本意义。“无穷”二字有时也写作“无尽” 或“无限”；在数学理论中应用这两个字的有无穷数列、无尽小数、无穷级数、无穷集合等几个名词；这几个名词都是在这个基本意义下使用的。但是，现在的形式主义者，不同意笔者的这个意见，为此，首先就自然数数列与自然数集合问题提出如下的定义。
定义6.1首先将自然数的从小到大排成一列时得到的数列
0，1，2，3， ……
具有写不到底，即写不尽的意义，所以都叫做无穷数列。
定义6.2 可用自然数表示其元素个数的集合叫做有穷集合。
在提出自然数集合的应有概念之前，需要指出现有自然数集合概念是不正确的。从科学出版社2002年5月出版的汪芳庭编《数学基础》中叙述的皮阿诺公理体系和ZFC公理体系来看，这两个理论中的自然数集合都依赖于这个文献中的“归纳集是存在的”的ZF6（无限公理）。但是，这条公理合理吗？这个文献80页解释说：“人类的数学实践对此早已作了肯定的回答，古典分析数学的基石——数学归纳法毫无争议地普遍使用这一事实便能说明问题”。 笔者不同意这个解释，事实上，我们必须知道：人们可以应用数学归纳法证明命题p(n)对任何一个自然数成立，但不能证明命题对全体自然数成立。例如，当“p(n)表示自然数n 是可以写出的”命题时，可以证明“任何自然数都可以写出”，但不能说“全体自然数”是可以写出的。再如，虽然 的小数展开式的任意多位是可以算到的，但不能说这个展开式的“所有位（全体位）”都能算出。 这两个例子不仅说明：现行的数学归纳法公理的叙述方式应当改革，而且必须把自然数集合看作是不能被人们构造完毕的非正常性质的、极限性质的理想集合（具体定义见下文公理6.1）。
关于无穷公理，湖南科学技术出版社，2007年出版的，李宏魁译 M. 克莱因著《数学：确定性的丧失》292页指出：‘罗素和怀特海对于将无穷公理作为逻辑公理也很踌躇，他们被这个公理的内容具有“真实的外表”这一事实所困扰，困扰他们的不仅仅是它的逻辑性，还有它的真实性’。能够作为提出这条公理的依据的只有柏拉图主义者的“假设所有数学对象的无穷总体都可以和通常的一个数学对象那样来处理”、“自然数无穷总体存在”的观点了。但是，柏拉图主义者的这种观点是违背实践的唯心主义的观点；自然数集合不仅依赖于“十进位记数法则”，而且还依赖于人们的工作时间。从后一点考虑，我们必须知道：自然数集合是人们不能构造完毕的集合。事实上，我们可以提出如下的定义与定理。
定义6.3 若有时间T存在，使得在[0,T]时段内把集合A中的元素全部表达符号列出（写出）来，则称集合A为能被人们构成的集合；否则称A是不能被人们构成的非正常集合。
定理6.1 自然数集合是不能被人们构成的非正常集合。
证明：用反证法，设写出一个自然数需要的最小时间为ε，由于对不论怎么大的T，总有自然数 N存在，使 Nε>T成立。根据上述定义，自然数集合是不能被人们构成的集合。
最重要的是，笔者不能同意ZFC公理集合论中在“归纳集是存在的”的幌子下把这个不能构成的集合偷换成可以构成的集合。集合论的学者问我：“归纳集存在不存在？”我回答说：“可以说存在，但存在的是一个不可构成的理想集合；不能在“存在的幌子”下把不可构成的、元素个数还在增加着的动态性质的集合看作已经构成的集合去提出无穷基数与无穷序数的名词”；他又问“不能构成怎么会存在呢？” 我的回答是：存在的是一个“理想性质的非现实存在的非正常集合”。不仅自然数集合，有理数集合、实数集合都是不可构成的理想性质的无穷集合；它们都缺乏现实存在的意义，数学中使用这些名词只是为了方便的一种说话的方式。例如，有了这个名词，我们就可以说：因为我们有了自然数集合，任何现实集合的元素个数都可以用自然数表示，但当有人问到：“自然数集合中的元素个数是多少呢”的问题时，我就回答说：这个集合是一个极限性质的、动态性质的、没有构造完毕的理想集合，它的个数是一个叫做无穷大的非正常数（具体叙述参看下一节）。前边的讨论也说明：哥德尔曾经提出“所有集合都是可构成集”的公理（参看汪芳庭《数学基础》225页），是违反实践的不应有的公理。
根据以上的研究，笔者提出了自然数集合的改革后的如下的公理性定义。
公理6.1可构成的正常集合的无穷序列
{0}，{0，1}，{0，1，2}，…，{0，1，2，3，4，5，6，7，8。9。10。11}…… （6—1）
的极限叫做自然数集合。记作{0，1，2，……10，11，12，……，……}，也可以简记为N。
上边已经指出这个集合的不可构成性，至于这个集合的无穷性质将在下一节还要继续讨论。
思考题
1没有大小的点能构成有长度的线段吗？
2飞矢不动问题如何解决？
3为什么基本事件的发生概率不能讨论？基本事件与区间、区域的关系是什么？频率与概率的关系如何？
4为什么说：自然数集合是不能被人们构成的极限性质的理想集合？

数学爱好者A

[这个贴子最后由数学爱好者A在 2008/09/19 08:49am 第 1 次编辑]

这又是一个基于白痴逻辑的想当然——线段的长度是由点的长度累加！
你所谓的矛盾、悖论都是基于这个白痴逻辑的推论

jzkyllcjl

数A;你的话“线段的长度是由点的长度累加！”是从哪里来的？？

顽石

    1 = 10^n/10^n
      =（10^n -1+1）/10^n
      =（10^n -1）/10^n + 1/10^n
    即：
    1 =（10^n -1）/10^n + 1/10^n
      = 0.999999…99 + 0.000000…01
    现行的数学不承认这种可避免弄虚作假的严格的 0.999999…99 和 0.000000…01这样的写法，那么我就只能写成：
    1 = 0.999999… + 1/10^n
    其中1/10^n就是1和0.999999… 之间的缝隙。N趋向无穷大。
   
    数A坚定地认为：一切整数都是小数，例如：
    1 = 0.999999…
    数A坚决多次地否定1/10^n这个缝隙的存在！认为当n趋向无穷大时，1/10^n = 0是颠扑不破的真理！而认为这种无穷小都大于0的人皆为是白痴！都是驴！
    现在数A面临着又要再解释他不久前所讲的关于“线的长度不是由每个点的长度累加构成！”模棱两可。那么，这个点，到底是等于0呢？还是大于0？数A避而不答而言他，故伎重演，又要大讲废话，拼命绕圈子，疯狂大漫骂，就是讲不出一点真道理。数A多可怜呀！数A象热锅上的蚂蚁，怎么办呢？

顽石

曹老先生：您好！
   
    数A的原话是：“线的长度不是由每个点的长度累加构成！”，您漏掉了他的“不是”两个字！看他怎么能够说明白？而不要什么：度量空间啦、欧几里德空间啦、测度啦、开区间啦、闭区间啦 …等等废话！我只要他回答：“每个点的长度”有！还是无！选择一个字就行。

jzkyllcjl

线段长度与度量有关。没有度量就谈不上长度。

申一言

请您画一个(单位)圆?这里没有说明半径r以及直径R的长度,当然更没有度量单位了!
    也许您真的化不出来?(因为您离不开度量单位.)
    但小学生,把圆规一掰化出来了,        (r=?)
    数学家也化出来了,                   (r=?)
    农民也化出来了,                     (r=任意树枝长)
    鲁班用墨斗量一量井口也化出来了!     (R=井口的直径)
纯粹数学不用度量单位!
        车工,木工,铁匠,石匠,,,在应用数学中则必须用度量单位!
而且还得灵活运用,长木匠,短铁匠,不长不短是石匠!
   
               胡言乱语,不足为凭.

jzkyllcjl

度量单位早就存在！中国人的尺是上肢的一部分；英国的英尺是foot,你难道不知道吗？“小学生,把圆规一掰化出来了”我可以用尺去度量它的半径！

数学爱好者A

下面引用由jzkyllcjl在 2008/09/21 07:30am 发表的内容：
线段长度与度量有关。没有度量就谈不上长度。

请给出度量的定义！

数学爱好者A

数A;你的话“线段的长度是由点的长度累加！”是从哪里来的？？
来自下面的小节

5.1点的定义与线段构成问题
5.2 飞矢不动问题
5.3 瞬时速度问题