且看同济版《高等数学》教材中一段令人费解的话。

fm1134

同济版《高等数学》下册在证明斯托克斯公式时，有这样一段话：“如果曲面与平行于Z轴的直线的交点多于一个，则可作辅助曲线把曲面分成几部分，然后在应用公式*并相加。因为沿辅助曲线而方向相反的两个曲线积分相加时正好抵消，所以对于这类曲面公式*也成立。”
对这段话的正确理解应该是什么呢？
有一种情形下，辅助曲线似乎很难作出来。那就是同济《高数》在介绍斯托克斯公式时给出的那个图形，但曲面∑的边缘部分凸出曲线Γ了（从平行于Z轴的方向上来看），这样一来，曲面∑与Z轴的交点也有两个，但似乎很难作出辅助曲线来。

luyuanhong

这个问题解答如下（其实解答并不难，可是画立体图很繁难，花费了我很多时间）：

fm1134

luyuanhong教授的解答非常精彩！

还有一种情况，辅助曲线似乎也很难做出。那就是曲面∑的边缘凸出了曲线Γ的边缘（即：曲面∑与平行于Z轴的直线有两个交点），这时，可以做辅助曲线L把曲面∑分成两部分，使每一部分都与平行于Z轴的直线只有一个交点，但辅助曲线L如果与曲线Γ不相交的话，该怎么处理呢？
具体图形如图所示：整个图形（∑+Γ）在ZOY平面上的投影如图所示，曲线Γ是一个圆周，曲线Γ所在平面平行于XOY平面，曲线Γ在ZOY平面上的投影是线段AB。这时的辅助曲线该怎么做出呢？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2008/09/23 09:53am 第 1 次编辑]

对楼上的问题解答如下（对更复杂的情形，也可用类似的方法处理，只要多作几条辅助线，多分几块区域就可以了）：

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luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2008/09/24 07:42am 第 1 次编辑]

我们应该根据曲面 Σ  法线的方向来确定边界曲线 Γ  的方向，而不是根据边界曲线 Γ  的方向来确定曲面 Σ  法线的方向。

因为曲面是可定向曲面，所以，曲面 Σ  上任何一处的法线方向，都是已经确定的。

然后，我们根据曲面 Σ  的法线的方向，按照下列“右手法则”，来确定它的边界曲线 Γ  的方向：

当我们右手的四指顺着 Γ  的绕行方向弯曲时，翘起拇指所指的方向应该就是 Σ  的法线的方向。

fm1134

非常感谢luyuanhong教授的解答！

永远

luyuanhong 发表于 2008-9-23 23:38
[这个贴子最后由luyuanhong在 2008/09/24 07:42am 第 1 次编辑]

我们应该根据曲面 Σ  法线的方向来确定边 ...

陆教授好，楼上您老的贴子均消失，可否补上？？？