由一问题引出的两个问题

中国上海市

为了求sin10°的值，解三次方程8x^3-6x+1=0，引用三次方程的求根公式，得出其中一x={0.5[（-1/2）+i√3/2]^(1/3)}+{0.5[（-1/2）-i√3/2]^(1/3)}，人们寄希望于其是个实数，可是很明显它根本不是实数而是虚数，请注意：它不是化不成实数，而是化简后得出结论是虚数，因为用三角形式表示后，很容易化简出来，x=0.5(cos40°+isin40°)+0.5(cos80°+isin80°)，如果它是实数的话，则sin40°+sin80°=0，这是不可能的，所以它不可能是实数，而另一方面，无论是sin10°、sin50°、-sin70°都是实数，所以这个求根公式真是碰到了大问题

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/02/19 00:06pm 第 1 次编辑]

这个问题解答如下：

中国上海市

噢，解释得真够清晰，谢谢陆教授

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2008/10/03 10:38pm 第 2 次编辑]

    楼主的出发点是，由于已推出 sin10°是三次方程 8x^3 - 6x + 1 = 0 的一个实根，因此希望通过解这个方程，而得到 sin10°的“文字表达式”。
    “文字表达式”是出来了，就是下帖中的那个“复数表达式”。
    这个结果当然是正确的、无可非议的。
    但是，想从这个途径来计算 sin10°的值是徒劳的，因为下面那个“复数表达式”化简的结果最终还是 sin10°， 转了一圈，又回到了原地。
    看来，希望从解 8x^3-6x+1=0 而得到 sin10°的值是“此路不通！”
    但是，这种思路并非总是失败的，例如，求 cos18°的值就会如愿以偿：
    根据 18°× 5 = 90°， 设 θ=18°，令 x = cosθ，则有：
    cos90°= 0 = cos5θ  = (cosθ)^5 - 10(cosθ)^3(sinθ)^2+cosθ(sinθ)^4，
    将 (sinθ)^2 换成 1-(cosθ)^2， 将 (sinθ)^4 换成 (1-(cosθ)^2)^2，可以得到下述方程：
    16(cosθ)^4 - 20(cosθ)^2 + 5 = 0，
    由此方程可得到精确解： cosθ = cos18°= 0.25 * sqr(10 + 2 * sqr(5)).
    上式中 sqr 表示开平方。
    为什么同一种思路，会有两种不同的结果呢？
    请教陆教授：这就是 18°能够尺规作图， 而10°不能尺规作图的深层次原因吗？

天山草

中国上海市

是的，天山草说得对的，其实，不仅18°，其它的和18°互余互补或倍角的角度例如36°、54°、72°等等的大概都可以用此种方法解答出来，而且再加上两角差或两角和的计算公式，可以对凡是3°角的整数倍角的三角函数确切值全部算出来，但是对于非3°角的整数倍的角，例如10°、20°、40°、50°、70、°80°等等的角似乎就找不到算其确切值的方法了，至少到目前为止，咱们这个论坛上还没有出现，不知道有谁能有办法算出来？

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2008/10/03 11:24pm 第 1 次编辑]

翻出了一个早年在“东陆”发的一个帖子《哪些角度能尺规作图，哪些不能》：

在三等分角和等分圆周（作正多边形）的尺规作图问题中，都涉及到角度问题，因此，了解哪些角度能尺规作图，哪些不能，是有必要了解的一个常识问题。
一、可以尺规作图的角度有哪些
（1）3°及其一系列半角和倍角：
…………(3/256)°、(3/128)°、(3/64)°、(3/32)°、(3/16)°、(3/8)°、(3/4)°、(3/2)°、3°、6°、9°、12°、15°、18°、21°、24°、27°、30°、33°、36°、39°、42°、45°、48°、51°、54°、57°、60°、63°、66°、69°、72°、75°、78°、81°、84°、87°、90°…………
   说明：上述角度之所以能够尺规作图，皆因3°这个角的三角函数能够表示成几个有理数平方根的加减乘除及开平方的组合，例如：
   sin3°={(√6+√2)•(√5-1)-2•(√3-1)•√(5+√5)}/16.……………………（*）
这样，借助于三角函数的倍角公式和半角公式，3°的一系列倍角和半角也就都能够表示成若干个正数平方根的加减乘除及开平方的组合。这真是“一人得道，鸡犬升天”，大家都跟着3°角沾光，并共同荣获“特殊角”之称号。
如果一个角的三分之一是上述“特殊角”之一，那这个角是可以“尺规三等分”的。
（2）(360/17)°及其一系列半角和倍角。因为17是费马数，高斯证明了边数是费马数的正多边是可以尺规作图的。高斯的这一发现是令人渍渍称奇的重大发现，高斯本人也为此而深受鼓舞，觉得自己是块做数学的好料，从此决定以数学为终身职业，并以正十七边形为其墓碑的底座。
（3）(360/257)°、(360/65537)°及其一系列半角和倍角。原因同（2）。
（4）(360/Fn)°及其一系列半角和倍角—— Fn是尚未发现的其它费马数。
（5）能够表示成上述角度的和或差（有限多次的和差运算）的角度，例如：
51°+ (3/8)°、87°- (22.5/17)°均可尺规作图。
  注 ①：上述“能作图”的角度，包括 (360/17)°在内，它们的共同点，就是这些角度的三角函数值能够用“有限多个正有理数平方根的加减乘除及开平方组合”来表示，而这也正是它们能够“尺规作图”的依据。
注 ②：除以上这些角度外，还有哪些角度“能作图”，请网友们补充。
二、无法尺规作图的角度
   无法尺规作图的角度远多于能够作图的角度，例如：
（1）……、(1/8)°、(1/4)°、(1/2)°、1°、2°、4°、8°、16°、32°、64°、……；
您如果有幸把1°的某个三角函数值写成了类似（*）式那样的“有限个有理数平方根的加减乘除及开平方组合”，那就“解放了一大片”，上面这些角度也会荣升为“特殊角”而与“3°角家族”平起平坐。不仅如此，由于21°角属“特殊角”，能够尺规作出，如果您解决了1°角的尺规作图，由21°-1°=20°，也就解决了20°角的尺规作图问题——那不是“三等分了60°角”吗？再由20°×2=40°，也解决了“九等分圆”的问题。
不过，先别太乐观，在动手之前最好先研究一下理论上有没有成功的可能性。
（2）……、(5/8)°、(5/4)°、(5/2)°、5°、10°、20°、40°、80°、……
……、(7/8)°、(7/4)°、(7/2)°、7°、14°、28°、56°、112°、……
…………………………………………………………………………………………
除3°以外的所有“质数角度”及其一系列倍角或半角，也是不能尺规作图的。这其中就有20°这个显眼的角，您要是有幸把这个角度用“尺规作图”画出来了，那就等于“三等分了60°”角；20°既然已经作出，40°角当然不在话下，因为40°×9=360°，您也就顺便完成了“九等分圆”或“正九边形”的尺规作图。只是这种研究恐怕凶多吉少，因为前辈数学家早已论证过“不可能”，您要以此为“研究方向”，最好先把前人的文章弄懂为妙。
上述这些“不能作图”的角有个共同特点，就是它们的三角函数值无法用有限多个正有理数平方根的加减乘除及开平方的组合来表示。您要想攻破“三等分角”或“九等分圆”这些“难题”，最好先把sin20°写成类似上面sin3°的那个表达式（*），如果您做到了这一点，具体作图的杂事其实不用您费心，任何人都会按您的公式做出图来。因此您只需发表那个公式即可，再说，这种公式要验证也很简单，拿个计算器按一按就行了。
三、尺规近似作图和非尺规准确作图
   如果取消了“准确尺规作图”或者“非尺规作图”这些限制，那就立即“海阔天空”了，方法会有许多种，精度也会准确到“任意程度”或完全准确。不过，这些都失去了“尺规作图”的本来意义，其价值也就很小了。  
   一些网友声称自己有绝妙方法三等分任意角或九等分圆，其实都是有误差的近似作图法。“三等分角”也好，“九等分圆”也好，谁都明白它们是“纯数学问题”，“纯理论问题”，不允许有一丁点儿的误差，否则“纯度”不足，就成了假货，连“东陆”这个小地摊上都卖不动，那还怎能拿到数学超市上去卖。
四、“尺规作图不能”问题的三个证明途径
    以下内容摘自《几何作图不能问题》这本书。
（1）有一个定理说，有理系数三次方程X^3+a*X^2+b*X+C=0 如果没有有理根，那么它的所有实根都不能尺规作图。………………………………………………记为“*”定理
例如三等分60°角问题，它的三分之一是20°，令x=cos20°，根据三角恒等式：
cos60°=4*(cos20°)^3-3*cos20°可得：1/2=4*x^3-3*x，或8*x^3-6*x-1=0，可以证明这个方程没有有理数根（或者直接求出三个根为：cos20°，-cos40°，-cos80°，均不是有理数根），因此它的所有三个实数根都不能尺规作图。既然 不能尺规作图，那三等分60°
角也就不可能尺规作图。
（2）有时，对问题的一般情形进行讨论比较困难，此时如果取其一个特例进行考察，则简单得多，例如三等分任意角，可以取60°这个特例进行研究；再如那个什么“古堡”问题，李明波也是取了一个特例进行分析：特例既经证实不能作图，一般情形不能作图便是不言而喻了（但是反过来说则不对——特例能作图不等于任意情形都能作图）。
（3）有的作图问题，经过分析后能够归结为已知的其它作图不能问题，则可断定该问题也属于尺规作图不能问题。例如，既然cos20°不能作图表明了60°角不能三等分，则可推知“九等分圆”作图也是不可能的。