如何估算第 n 个素数的值

天山草

众所周知，第 n 个素数的值 p(n) 可以用 n*log(n) 来估算。这是根据π(x)≈x/log(x)作出的推论。 用 p(n)≈n*log(n)来估算第 n 个素数的值时，如果 n 较小，则误差较大。 本帖根据 π(x)≈Li(x) 对第 n 个素数的值进行估算，计算精度较高，见下表。 只是目前尚没有推出具体的“算式” ，而是只有“算法” 而已。 期待网友给出具体“算式”。 注意，下表中的 p1(n)，本身并不是素数，应理解成与 p(n) 较接近的一个数。 n p(n) p1(n) (p-p1)/p 第 n 个素数实际值 与 p(n) 接近的数 相对误差 ------------------------------------------------------------------- 10^4 104729 104283 -0.426％ 10^5 1299709 1298192 -0.117％ 10^6 15485863 15479091 -0.0437％ 10^7 179424673 179415219 -0.00527％ 10^8 2038074743 2038024614 -0.00246％ 10^9 22801763489 22801628733 -0.000591％ 10^10 252097800623 252097143590 -0.000261％ 10^11 2760727302517 2760725938051 -0.0000494％ 10^12 29996224275833 29996222212226 -0.00000688％ 10^13 无资料 323780523647943 10^14 无资料 3.4753855962419E+15 10^15 无资料 3.71245084551549E+16 10^20 无资料 4.89205594085693E+21 10^30 无资料 7.23447694493863E+31 10^40 无资料 9.56534509630789E+41 10^50 无资料 1.18898970376541E+52 10^60 无资料 1.42104543328257E+62 10^70 无资料 1.65282472439097E+72 10^80 无资料 1.88440243038629E+82 10^90 无资料 2.11582505665767E+92 10^100 无资料 2.34712589192322E+102 10^200 无资料 4.65658303624473E+202 10^300 无资料 6.96319859629755E+302 ----------------------------------------------------------------------- “无资料”指Mathematica-5 软件或HugeCalc目前算不出。 使用本方法的计算程序非常简单，见下。 由于 VB 语言的限制，n 最大不能超过 10^304。 在不编译的情况下，对于任何 n，计算速度约 3 秒钟。 '; 第 n 个素数估算 Private Sub Form_Click() n = 10 ^ 12 '; 指定素数的序号 n nn = n / 10000000 10: X1 = n * Log(n): X2 = 10 * n * Log(n) '; 第 n 个素数一定在此范围内 GoSub sub1 20: y = m - n tx = x If Abs(y) <= nn Then GoTo 999 If kkk >= 1000 And x = tx Then GoTo 999 If y < 0 Then X1 = x: GoSub sub1: GoTo 20 If y > 0 Then X2 = x: GoSub sub1: GoTo 20 999: Print "第"; n; "个素数在"; Int(x); "附近" Close Exit Sub sub1: x = (X1 + X2) / 2 c0 = Log(Log(x)) - Log(Log(2)) a = Log(x): b = Log(2) c1 = a - b s = 0 For n1 = 2 To 20000 aa = a: bb = b a = aa * Log(x) / (n1 * n1 / (n1 - 1)) b = bb * Log(2) / (n1 * n1 / (n1 - 1)) s = s + a - b Next n1 m = Int(c0 + c1 + s) '; m 是不大于 x 的素数个数 kkk = kkk + 1 Return End Sub

njzzyy

我获得素数定理最可机函数,能让实际值较均匀地分布在它的两边,

wangyangke

[这个贴子最后由wangyangke在 2008/10/05 08:20pm 第 2 次编辑]


    不可能的！--------第 n 个素数的值 p(n) 可以用 n*log(n) 来估算。---------------------
   
    基于上述，不可能！
    只要对素数定理有基本的理解，就会自觉意思到不可能！

申一言

对!
一切估算,～,≈,○,o.
     对单位(素数)都是不负责的!
   因为
      　  ★  π(X)=Np   素数(单位)个数=该素数(单位)的位数!
这里不是应用数学!大小王的位置一定要摆对!
在纯粹数学中任何"数"都有它所在的位置,位序!
     位置错了,顺序错了!
     一切就都乱套了!
     乱套了,还是纯粹数学吗?

simpley

治病要紧

申一言

[这个贴子最后由申一言在 2008/10/06 10:26am 第 1 次编辑]

素数树(单位树)
                            0
                          0-1-2
                        0-1-2-3-4
                      0-1-2-3-4-5-6
                    0-1-2-3-4-5-6-7-8
                  0-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
                0-1-2.......Pn.............2n
                             A
                             AA
                             AAA
                            AAAA
                           AAAAAAA
                          AAAAAAAAA
                        AAAAAAAAAAAAAA

尚九天

可以顶上否？