圆弧切线引发的一个矛盾。

fm1134

fm1134

    关于这个问题，在以前的“曲线切线的另一个问题.”里有所讨论的：http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=3426
    陆老师在以前的“曲线切线的另一个问题”帖子中，认为当AB成为切线时，A、B两点并不完全重合，即x(A)-x(B)并不等于绝对意义上的0，而只是一个无穷小量。
   但是当A、B不完全重合时，A、B就仍是不同的两个点，那么按照割线的定义，这时的AB就仍是割线，而不是切线。只有当A、B两个点完全重合时，两个点合二为一，这时，AB才是真正意义上的切线。而这时，很显然x(A)-x(B)就成为绝对意义上的0了，而不是无穷小量了。
   因为割线的定义讲得很清楚：与圆弧有两个交点的直线只能是割线，而不是切线。

fm1134

[这个贴子最后由fm1134在 2009/01/03 00:51am 第 1 次编辑]

    下面是陆老师的再次回复：
   
    “我过去说过，根据“非标准分析”的观点，“0”可以分为两种：
    一种是“真正的绝对的 0”，另一种是“非 0 无穷小量”。
    同样，根据“非标准分析”的观点，“重合”也可以分为两种：
    一种是“真正的绝对的重合”，另一种是“相差一个非 0 无穷小量的重合”。
    在微积分中说：“当圆周上的两点 A 和 B 重合时，割线 AB 成为切线”。这句话里的“重合”应该怎样理解？
    我认为，应该理解为“相差一个非 0 无穷小量的重合”，而不应该理解为“真正的绝对的重合”。
    所以，这句话严格地应该这样说：“当圆周上的两点 A 和 B 达到相差一个非 0 无穷小量的重合状态时，割线 AB 成为切线”。
    只要按照这样的理解，就不会产生第1楼中所说的矛盾问题。
    反之，如果把“ A 和 B 重合”理解为“ A 和 B 真正的绝对的重合”，就会产生很多矛盾和困惑。”
  

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/01/04 00:37am 第 1 次编辑]

从“非标准分析”的观点来看，首先，有一点是明确的，毫无疑问的：
“设 A、B 是圆周上的两点，当 A、B 两点之间的距离是一个非 0 无穷小量的时候，直线 AB 就是这个圆周的切线。”
下面的问题是：“当 A、B 两点之间的距离是一个非 0 无穷小量的时候，直线 AB 还能不能算是这个圆周的割线？”
这个问题，其实只是一个关于“割线”的定义的问题。可以有这样两种定义：
[定义一]
当圆周上 A、B 两点之间的距离既不是 0 、也不是一个非 0 无穷小量的时候，称直线 AB 是这个圆周的割线。
当圆周上 A、B 两点之间的距离是 0 、或者是一个非 0 无穷小量的时候，直线 AB 不能称为这个圆周的割线。
按照这样的定义，切线与割线，是可以区分开来的两种直线：
（1）当 A、B 两点之间的距离既不是 0 、也不是一个非 0 无穷小量的时候，直线 AB 是圆周的割线；
（2）当 A、B 两点之间的距离是一个非 0 无穷小量的时候，直线 AB 只能算是圆周的切线，不能算是圆周的割线。
[定义二]
只要圆周上 A、B 两点不是绝对的重合，即它们之间的距离不是真正的绝对的 0 ，就称直线 AB 是这个圆周的割线。
按照这样的定义，切线也可以算是一种割线，是一种特殊的割线。也就是说，按照这样的定义，割线可以分成两种：
（1）当 A、B 两点之间的距离既不是 0 、也不是一个非 0 无穷小量的时候，直线 AB 就是普通的割线；
（2）当 A、B 两点之间的距离是一个非 0 无穷小量的时候，直线 AB 是一种特殊的割线，也就是切线。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/01/04 05:02pm 第 1 次编辑]

请看我在《数学中国》《基础数学》中发表的帖子：
“用“非标准分析”的观点看曲线的切线问题”
http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=5196

fm1134

当A、B完全重合时，无论按照那种定义，这时的AB毫无疑问也是切线。但这时x(A)-x(B)=绝对0，而不是无穷小。这时，斜率K中的分母就成了绝对0了，显然是不合适的。

luyuanhong

下面引用由fm1134在 2009/01/04 10:44pm 发表的内容：
当A、B完全重合时，无论按照那种定义，这时的AB毫无疑问也是切线。但这时x(A)-x(B)=绝对0，而不是无穷小。这时，斜率K中的分母就成了绝对0了，显然是不合适的。

请看下图：

fm1134

但是对于圆弧上某点的切线来讲，正如我最开始给出的图1、2、3的情形，当A、B完全重合时，直线AB并不可以任意旋转，因为当A、B完全重合时，若AB旋转任意一个角度，切线AB又会变为割线AB了。而我们所讨论的是切线的斜率，并不是割线的斜率。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/01/05 11:38pm 第 1 次编辑]

注意：我们讨论的是“由曲线上的 A、B 两点确定的直线（通过 A、B 两点所作的直线）”。
当 A、B 两点完全重合时，我们通过重合在一起的 A、B 两点（其实就是一点）朝任意方向作一条直线，
请问：这条直线算不算“由 A、B 两点确定的直线”？显然应该是的。
我们通过这一重合点，再朝另一个方向作一条直线，请问：这条直线算不算“由 A、B 两点确定的直线”？显然也是的。
我说：“当 A、B 两点完全重合时，由 A、B 两点确定的直线可以任意旋转”，就是这个意思，请问：这句话有什么错呢？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/01/06 02:26pm 第 1 次编辑]

我猜想，可能在你的思想中，还念念不忘中学里关于圆周切线的定义：“与圆周只有一个交点的直线就是圆周的切线”。
其实，这个定义的适用范围是非常狭隘的。对于绝大多数的常见的曲线，例如抛物线、指数函数曲线、对数函数曲线、
正弦曲线、余弦曲线、正切曲线、余切曲线、正割曲线、余割曲线、一般的多项式曲线，等等，这个定义都是不成立的。
即使是圆，如果我们把“圆周”改为“半圆”或“一段圆弧”，这个定义也不成立了。试想一下：我们能不能说：
“与半圆只有一个交点的直线就是半圆的切线”？“与一段圆弧只有一个交点的直线就是这段圆弧的切线”？显然不能。
所以，用有一个交点还是有多个交点来区分切线与割线，是很不合理的，这种定义，只看到表面，没有抓住“切线”的本质。
而我们的定义：“当曲线上 A、B 两点之间的距离是一个非 0 无穷小量的时候，由 A、B 两点确定的直线是曲线的切线”，
抓住了“切线”的本质，它适用于任何情形，能够自圆其说，不会产生使人困惑的矛盾，所以，应该说是一种比较合适的定义。