对《实分析与泛涵分析》中的定理1.3的结论及证明的错误的剖析。

zhaolu48

[这个贴子最后由zhaolu48在 2005/09/12 12:15pm 第 2 次编辑] 　　上传的Word文稿就是下面主帖的doc文件，因为在这个文件中有很多是用数学公式编译器编制的公式，因此直接打开，看不到这些公式。 　　因此必须保存到你的硬盘上，并且你安装的Word软件也要安装了公式编译器，即在插入对象中含有公式3.0，否则有的个别公式会变形，但大部分不会。 　　　　　对《实分析与泛涵分析》中的定理1.3的结论及证明的错误的剖析。 　　把《实分析与泛涵分析》定理1.3抄写如下。 　　定理1.3(Cantor无最大基数定理)　对任何非空集A，|P(A)|>|A|(即A的幂集P(A)的基数大于A本身的基数)。 　　证　(1)作映射g:A→P(A),x→|x|,令B=||x|:x∈A|（＜P(A)，,则g:A→B为一一映射，所以A～B（＜P(A),从而|A|≤|P(A)|。(A（＜B,表示A为B的真子集) 　　(2)证|A|≠|P(A)|,即对任何映射f:A→P(A)都不可能是一一映射。用反证法，设存在一一映射f:A→P(A),x→f(x)=A(x) ∈P(A),同时A(x)（＜A. 　　令A*=|x∈A:x不属于A(x)| (1.3) 从A～P(A)，对于A*∈P(A)， x1∈A(x),使得 　　　　　f(x1)=A* (1,4) 　　若x1∈A*,则由(1,3)(1,4),得到x1不属于A(x1)=f(x1)=A*；同理，若x1不属于A*，则x1∈A(x1)=f(x1)= A*,都导至矛盾.证毕.(第264页) 　　先看证明的第一句话“作映射g:A→P(A),x→|x|,令B=||x|:x∈A|（＜P(A)” 　　x∈A，即是A中的一个元素，那么|x|是什么呢？很难说清楚，作为叙述法，要把元素的性质叙述清楚，那么对任意一个事物看作是元素x，它是否属于B，无法判断。B是什么样的集合都不清楚，怎么知道B（＜P(A)呢？ 　　由“g:A→P(A),x→|x|”，应有|x|∈P(A),即|x|（＜A，A的子集能用|x|表示吗？ 　　只能用“g:A→P(A),x→g(x)|”代替“g:A→P(A),x→|x|”，则|g(x)|才有意义。但在P(A)中=|g(x)|的元素有无数个，那么又与“g:A→B为一一映射”矛盾。 　　由此看来(1)的证明是无效的。 　　再看(2)中的 　　“对于A*∈P(A)， x1∈A(x),使得 　　　　　f(x1)=A* (1,4)” 　　因为空集Φ∈P(A)，令A(x)=Φ,则A*=A，因此只存在唯一的x1∈A，使f(x1)=A(x1)=Φ,但不存在任何x2∈A(x1)=Φ,使得 　　　　　f(x2)=A*，因此“ x1∈A(x1)”是不成立的。 　　对于集合{x1}，存在惟一的x2∈A，使f(x2)=A(x2)={x1}，这时的A*=A-{x1},因此也不存在任何x3∈A(x2)={x1}使得 　　　　　f(x3)=A*。 　　可以构造出无数个f(x)= A(x) ∈P(A)，但不存在x1∈A(x),使得 　　　　　f(x1)=A*。 　　因此(2)的反证法也是不成立的。 　　从而知道这个“证明”并没有证明出|P(A)|>|A|(即A的幂集P(A)的基数大于A本身的基数)。 其实按照这本教材的观点，如果A是可数集，可用很简单的办法证明P(A)仍是可数集。 　　设N是自然数集(设0不属于N)，只要证明N的幂集P(N)是可数集就可以了。 　　设y={n(1),n(2),…,n(k),…}∈P(N)(n(1)

wangyangkee

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