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芝诺悖论与数学基础
附录1 芝诺悖论与连续性数学的基础1
曹俊云
（河南理工大学数学系 河南焦作 454003 Email: cjy@hpu.edu.cn ）
摘要 线段、时段长度的绝对准确的测量方法是不存在的，时空的无限可分性只能是误差界趋向于0时的一种极限，而且这种极限具有不可达到的性质。时空的无限可分性应当是附有测不准性质的可分性。在测不准和时空不能无限可分的事实下，不论用代数方法或极限方法计算出的勇士阿基里斯追上乌龟的时间都只能是一种理想性质的计算结果，在付诸生产实践时，应当用把这两个结果看作是近似意义的。满足误差界的足够准近似方法是解决连续性现实数量问题及其数学理论根本方法。
关键词 时段、线段长度的测不准性 时空的连续性（即无限可分性） 潜无穷 实无穷 点 实数
中图分类号：N0 B0 O1 文献标示码： A
1 问题的提出
自然数不是上帝造的，它是人造的。根据十进位计数法，人们得到的自然数列是：
1，2，3，…9，10，11，12，…20，21，…100，101，102，……
关于自然数，人们还提出了自然数集合的术语。人们认为：自然数集是包含所有自然数（或称全体自然数）的集合，它的表达式是
{1，2，3，……}
关于这个集合中元素有多少的问题，人们说它是“无穷多”；因此就称这个集合为无穷集合。那么，无穷集合是什么意思呢？对于这个问题，从希腊时代到现在是中存在着“实无穷与潜无穷”两种不同观点的争论。从王宪钧先生的著作《数理逻辑引论》（1998年版301 页）可以看到：“实无穷论者认为，无穷（在数学中表现为无穷集）是一个现实的、完成的、存在着的整体”， “潜无穷论者否认实无穷，认为无穷并不是已完成的而是就其发展来说是无穷的，无穷只是潜在的”。康托尔（Cantor, G. ）认为：数学理论必须肯定“实无穷”。但是，这样建立起来的实数理论，存在着 的等式，这个等式与 时“除不尽”的事实相矛盾；这样建立起来的集合论存在着“分球奇论”与“实数集的基数到底是什么呢？”的难题。为此，笔者改写了实数理论与集合论，在这个理论中笔者没有使用实无穷的概念；笔者是使用了“含有极限思想的实质性公理方法”去建立实数理论与集合理论。在这个实数理论中 与 之间的关系是“全能近似相等” [1]，即成立的关系是： 。
笔者的改革不仅消除了许多矛盾，而且有很大好处。但是对于极限，吴咸在《怎样认识极限》一文中批判了“极限只是同潜无限（即潜无穷）打交道”的见解[2]；对吴咸的这种观点，本文将予以讨论（也可以叫做一种驳斥）。这个讨论涉及到争论了两千多年的“时空无限可分性”问题与连续性数学基础问题，本文将给出这两个问题的解决方案。
2 芝诺悖论的初步讨论
吴咸在论述上述观点时，是以芝诺悖论为例进行的，我们也从这个问题开始。
2.1 芝诺悖论的叙述 古希腊哲学家芝诺（Zeno）提出了四个值得深入研究的悖论（或称论辩），其中的一个是“阿基里斯追不上乌龟”的悖论。这个悖论可以叙述为：阿基里斯（神话中的一名勇士）与乌龟赛跑：乌龟在前面，因此阿基里斯必须首先跑到乌龟最初的位置；但在这段时间里，乌龟已前进了一段距离；于是阿基里斯又必须再跑完这段距离。照此推论下去，阿基里斯只能接近乌龟，但永远追不上乌龟。具体的讲：譬如，假设阿基里斯的速度为10（米/秒），乌龟的速度为0.5（米/秒）；乌龟最初在阿基里斯前面50（米）处。那么阿基里斯首先需要化5秒时间跑完50（米）到乌龟最初的位置，但此时乌龟前进了2.5（米），阿基里斯再化0.25秒的时间跑完2.5（米）时，乌龟又朝前走了0.125（米）。以此类推，阿基里斯逐段地化5秒、0.25 秒、0.0125秒、……的时间，相继地跑完是50（米）、2.5（米）、0.125（米）、……的距离。由于这是一个无限序列，这里有无限多个阿基里斯需要走的路程和无限多个路程的出发点，所以阿基里斯永远追不上乌龟。
2.2 芝诺问题的代数解法 撇开芝诺的结论不讲，可以说：芝诺在这里提出了一个数学问题。这个问题是：如何求出阿基里斯追上乌龟的时间。这个问题可以用代数方程的办法去解决。设阿基里斯追上乌龟的时间为 秒，可以得到：
（秒）。
这时阿基里斯走过的路程为 （米）。
2,3 芝诺悖论的实践说明 在5.25秒时，阿基里斯跑了52.5（米），乌龟这时仅走了2.625（米），这时乌龟在阿基里斯之前只有0.125（米）。显然，阿基里斯只要再跑一步就超过乌龟；在这一步之中，阿基里斯就追上乌龟了。“实践是检验真理的唯一标准”，阿基里斯“永远追不上乌龟”的说法，是违反实践的悖论。
2.4 芝诺问题的极限解法 在有限时间（ 秒）可以无限细分的假设条件下，我们可以用极限方法求解芝诺问题。这时得到的，追上时间的算式是：
这个结果与代数方程方法的结果一致。这个计算的结果也说明：阿基里斯是能追上乌龟的。在芝诺所处时代还没有极限理论。对于我们的极限解法，芝诺会反驳说：极限是不能达到的理想；如果承认极限方法的结果，就等于承认无穷是“有终了的、完成了的实无穷”，但无穷是“无有终了的、不能完成的潜无穷”；两种无穷的概念不同，不能混淆。笔者认为：就这个问题来讲，如果认为那个有限的距离可以无限细分而成为无限步行走的小距离，那么这种无穷就是一个“完成了的”实无穷，在这种情况下，使用实无穷概念下的极限求解方法是可以施行的；如果认为极限只是无限接近而不能达到，那么原来的“无限细分”的工作也是不能完成的工作，因此，芝诺的“永远追不上乌龟”的结论也是不能成立的结论。这个讨论说明：芝诺悖论是在使用实无穷观点下提出问题之后把实无穷概念换成潜无穷概念才得出“永远追不上乌龟”这个悖论的。这个讨论说明：芝诺悖论是“概念偷换”性质的诡辩。
2.5 芝诺悖论的原意 从上一段的讨论还可以看出：芝诺悖论的问题本来不是在极限算法中用不用“实无穷”概念的问题，而是“时空是不是无限可分”的问题。事实上，如果时空不是无限可分的，那么芝诺悖论也就不存在了。关于这个事实，从百度网上孙逐明《芝诺悖论与东西方时空观》中也可以看到以下的论述。“芝诺悖论是西方连续时空观的产物。”这个悖论“诘难了关于时间和空间无限可分，因而运动是连续的观点。”“如果时空是由离散的时段、空间粒子组成，那么阿基里斯不可能追不上乌龟。”这说明：芝诺这个悖论的原意不是为了得出“阿基里斯不可能追不上乌龟”的结论，而是为了诘难“时空无限可分性”的观点。从芝诺悖论的这个愿意上讲，需要进一步讨论一下“时空的无限可分性（即时空连续性）”问题。
3 时空的无限可分性（即时空的连续性）
到现在为止，时间、空间的无限可分性（即时空的连续性）问题，仍然是一个争论着的问题。从数学理论上讲，近代的极限理论、实数理论就是建立在时空无限可分性之上的理论。但另一方面，爱因斯坦等物理学家又提出了修改这个经典时空观的意见。关于这个修改意见，在В.И.Рыдник 著的《量子力学史话》[3]中讲道：“应当存在着某种所谓细胞——空间与时间量子。这些量子的大小可能是由微观的质量、能量、动量（可能还有其他一些特性）来决定。”“可是直到目前，我们也不具备有关任何那样的长度元或时间元的知识。这可能意味着，这个长度元和时间元，已经超出微观世界长度和时间最精确的现代方法的灵敏程度。这些现代技术的极限是核力距离——10-13 厘米。在时间方面则属于核时间的数量级——10-23 秒。某些物理学家相信，长度量子如果存在的话，比上述数值还要短几百甚至几千倍。”“它们简直太小了。任何计时器也不可能测出那样的时间，如一亿亿亿分之一秒。对长度来说也是如此，一厘米的一亿亿亿分之一也是测不出来的。”“引入时间细胞或量子又有什么意义呢？”“新概念总是在阵痛中诞生的。”“现在，面临着重重困难的量子力学又在阵痛中挣扎着。它将胜利？或将失败，让一个新的、更强有力的理论来代替？”孙逐明在上述百度网上也说道：“量子力学在微观世界证明了物质不是无限可分的，它也促使学者们越来越多地认识到：空间不一定能这样无限分割下去。量子效应使得空间、时间的连续性丧失了。”
怎么办呢？从量子力学来看，量子力学可以说得通的一个重要原因是“时空的测不准原理”。再从测量工作的实际情况来看，“时段、线段长度”的绝对准实测方法确实是不存在的。研究任何问题，都需要有一个实事求是的科学态度。根据这一点，去研究时空的无限可分性，就可以发现：“日取其半”（或称“一分为二”）的工作，在“绝对准的要求”下是无法进行的；能进行的只是在一定误差界下的“日取其半”，而且在已经确定了的误差界之下，当线段长度足够小时，“日取其半”的工作就无法进行了；所以“万世不竭”的叙述，只是不计误差的理想性质的叙述。对于芝诺悖论，把那个有限时间（ 秒）无限细分的工作也是如此。这个事实应当受到尊重。
那么，现在的数学理论是不是就不能要了呢？也不是，我们可以对它进行改革，怎么改革呢？从生产实际来讲，随着测量工具、测量方法的改进，测量精度是可以提高的，如果假设测量精度可以无限提高，那么就可以认为：“万世不竭”的叙述只是误差界趋向于零的一种极限情形；时空无限可分性也是这样的一种极限。但是我们还必须知道：这只是一种假设，“连续性现实数量大小的测不准的事实”还必须受到尊重；这是一个原则问题。我们称这个原则为测不准原则。关于如何尊重的问题，这就要求我们不仅不要使用“实无穷”观点把“极限值”看作是“一定能达到的”；而且应当把极限值看作不能达到的。我们的观点可以简单的叙述为：我们的时空无限可分性是在测不准原则下的时空无限可分性；时空的无限可分性不仅是误差界趋向于零的一种极限情形，而且必须承认这种极限具有不可达到的“无穷就是无有终了”性质的极限。作者就是在这个意义下认识时空无限可分性（即连续性）问题的；也是在这个意义下改写实数理论、几何基础、微积分学等数学理论的；这种改写是不使用“实无穷”观点的改写。这就是说：从联系实际的角度上讲，笔者不仅承认：“极限只是同潜无限打交道”的观点，而且坚持“无穷就是无有穷尽”的本来意义。
总之，时间、空间究竟是无限可分的连续性事物或者是由“不可再分的相邻的时间段、空间的粒子”组成的呢？这是从古希腊时代到现在一直争论着的问题。现在，从笔者的论述来看，虽然我们的数学计算使用了连续性的时空观点，但由于笔者又承认：“时段、线段长度的真值无法得到，所有被测出的长度的表达数字都是在近似方法下得到的”，所以笔者的数学论述与“时空连续与否”都无矛盾：在宏观上即忽略测量误差的情况下，时空可以是无限可分的，但在微观上即在测量误差不能忽略的情况下它又可以是由微小粒子组成的。
4 芝诺悖论与测不准原则的关系
从解决生产实际问题来讲，现行的数学理论是有“假设”的理论。最基本的假设是：位置、速度、距离、时间可用数字绝对准表示。但从实践上，我们还必须承认：位置、速度、距离、时间具有测不准性。前边已经讲到：这个事实必须受到尊重，这是一个原则问题，下边讨论一下这个原则在芝诺悖论问题研究中的应用。就芝诺悖论来讲，首先在它的提出上，就是近似的。事实上，在“阿基里斯的速度为10（米/秒），乌龟的速度为0.5（米/秒）；乌龟最初在阿基里斯前面50米处”的叙述中，有三个数据。如果要问：这些数据是怎么得到的呢？就可以想到，它们必然是在近似测量或近似计算方法之下得到的。在这个前提之下，对于用极限方法得到的计算结果—— （秒）就不必要坚持“实无穷观点”和“它是绝对准确的计算结果”的说法。对于这个计算结果，必须被看作是近似的；而且可以给出一个误差界。例如在误差界为 秒时，只要实测结果在 （秒）之内，就应当承认我们的计算结果是“能为实践验证”的正确结果。否则，就应当修正原有的计算（包括修正计算的原有数据）。在这里可以看出：满足误差界的足够准近似方法是研究连续性现实数量的根本方法；极限值的使用只是理想性分析阶段的事情，在付诸实践的最后阶段还需要近似看待这个极限值。这说明：从解决实际问题的角度上讲，求极限值时的实无穷的观点是不应有的观点；吴咸的“作为过程，是潜在无限；作为结果，是实在无限”的实无穷必须使用的观点只是在暂时不联系实际的“纯理想性分析阶段”才可以使用的事情。就实际问题的研究来讲，我们完全可以讲：“极限方法计算的结果只是一种理想性的结果”。在这里需要注意：笔者不是说：极限的计算结果没有实际意义，而是说：应当在近似意义、理想意义下去理解这个结果。
5 连续性数学理论的真正基础及其改革简介
由上所述，第一，从联系生产实际的角度上讲：用极限得出的结果，应当在近似意义下去理解，这时实无穷的观点是不需要的。第二，尊重测不准性质是解决时空连续性问题的根本方法。关于测不准的问题，我们还应当知道：桌子、椅子、宇宙飞船都是在近似测量方法之下制造出来的；所以笔者认为：满足误差界的足够准近似方法是研究连续性现实数量的根本方法。“实践是理论的基础”，研究连续性现实数量的数学理论应当反映出这个事实。
对于初等几何，我们应当知道：它是从土地丈量等问题研究中产生出来的数学理论。从土地丈量的实际工作来讲，“没有大小”的点，是无法被人们“点”出来的；能被人们“点”出的点，只能是“满足误差界要求”的有大小的近似点。为此，笔者提出了下边的定义和公理。
定义1点是针对误差界的足够小；其中有大小的点叫做近似点，没有大小的点叫做理想点；理想点与近似点之间有着相互依赖的关系；设 为以零为极限的误差界序列，我们称：随着这个序列逐步得到的能近似表达一个理想点位置的近似点序列为全能近似点序列。
公理1 全能近似点序列的极限是一个唯一的理想点。
对于直线、平行线，笔者也提出了类似的定义和公理。这样就进一步消除了两千多年来的“第五公设”的争论（参看文献[1]）。在笔者的理论下，线段只能由近似点构成而不能由理想点构成。这样就消除了“分球奇论”等许多无法解释的难题。
类似地，对于实数、级数和、导数、定积分、函数笔者都提出了近似、全能近似、理想三类技术术语（参看文献[1]）。使用这三类术语，就可以使用对立统一法则去阐述连续性数学的数学理论了。这样改革之后，不讲误差的连续性数学的数学理论中的定理或公式都是实践中近似情况的极限；而且这种数学理论的计算结果的实际意义应当被看作是近似的，它也应当在近似意义下付诸实践。这种做法就可以消除现行数学理论研究中的许多难题和怪论。就笔者的实数理论改革来讲，笔者是用极限方法进行的改革；是不使用“实无穷”观点的改革，这种改革不仅消除了现行实数体系中的矛盾，而且给出了计算 这类问题的计算法则，消除了三分律的疑难问题。就数学分析来讲，在不使用“实无穷”的观点下，不仅我们不需要把现行数学分析改为“非标准分析”，而且我们对现行分析的改革能更好的解决微积分学与δ函数、发散积分的问题。在这方面，笔者写有二十多万字的研究资料，文献[1]只是它的一个简写。
6结论
总之，芝诺悖论是涉及“时空连续与否的争论问题“的论辩。时空连续性的争论问题的解决方法、连续性数学理论研究中的矛盾与难题的解决方法都类似于量子力学中使用测不准原理的方法。时空的连续性（即无限可分性）应当是附有测不准性质的、按照“无穷就是无有穷尽”的性质理解的极限性质的连续性。连续性数学的理论需要在尊重基本事实（连续性现实数量的测不准事实和连续性现实数量的根本研究方法是满足误差界的足够准方法的事实）的条件下，提出理想、近似、全能近似三类数学术语，应用对立统一法则去阐述。不讲误差的连续性数学的理论应当是从实践中的近似方法经过取极限的手法得到的，它又应当在近似方法下应用于实践。
[1] 曹俊云 《无限的概念与数学基础》[J] 河南理工大学学报2005(2) 159~169 .
[2] 吴咸 《怎样认识极限》[J]，《自然辩证法》杂志1974（3）.
[3] В.И.Рыдник 著，黄宏荃 彭灏译《量子力学史话》科学出版社1979 .
Zeno’s Paradox and The Foundations of Continuity Mathematics
Cao Junyun (Department of Mathematics, Henan Polytechnic University, Jiaozuo 454003, China)
Abstract: The method in absolute accuracy demand to measure lengths of linear segment and time segment, is not existence. The character to divide infinitely of time and space is the situation of limit, and we must acknowledge that limit is could not be reached. The character to divide infinitely of time and space must be the character possessed principle of could not accuracy to measure. By the fact of segment of time and line of which could not be accuracy to measure, for Zeno’s Paradox, the result of calculation by algebra method or by limit method should be all regard approximate. The sufficiently accuracy approximation method satisfied demand of error bounds is foundation method to settle continuous actual quantity questions and its mathematics theory.
keywords: The character of segment of time and line of which is not accuracy to measure The continuity of time and space(i.e. The character to divide infinitely) Potential infinity Actual infinity Point Real number
思考题
1，测不准原则的依据与意义是什么？绝对准测量要不要? 在什么意义下要？
2，时空无限可分性是在什么条件下提出的？应用这个性质时应当注意什么？
3，测不准原则与数学理论有什么关系？不依赖近似方法的绝对准研究方法行得通吗？
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发表于 2009-1-19 08:15
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