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不可思议的分形世界:简单规则如何导致复杂结果?

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发表于 2020-1-13 21:36 | 显示全部楼层 |阅读模式
不可思议的分形世界:简单规则如何导致复杂结果?

我们用各种各样的数来描述自然:从常见的自然数到负数,从有理数到无理数,从孤独的质数到不同的无穷大。每一个数都它自己的故事,每一个数都不可思议。比如,说到1.26时你会想到什么?这是曲曲折折的雪花曲线的维数!介于一维和二维之间的雪花曲线是人类构造的一种分形图案,它由简单的规则产生,却反映了自然界中的复杂形状。

今天的文章摘选自数学家伊恩·斯图尔特(Ian Stewart)的科普著作《不可思议的数》,在书中,作者讲述了许多数字背后的故事,带领我们进入了奇妙的数字世界。


撰文 | 伊恩·斯图尔特(Ian Stewart)
译者 | 何生

分 形

谢尔平斯基垫片是在20世纪早期出现的一种“小玩意儿”,当时,它有一个相当难听的名字——“病态曲线”。这种曲线包括黑尔格·冯·科赫的雪花曲线(图1左),以及朱塞佩·皮亚诺和大卫·希尔伯特的一些空间填充曲线(图1右)。

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图1: (左)雪花曲线。(右)构造希尔伯特的空间填充曲线的各个阶段

那时候,构造这类曲线是一种业余爱好,它们是那些“看似是真、但实则是假”的命题的反例。雪花曲线是连续的,却没有地方是可导的,也就是说,它虽然没有断开,但处处不光滑。曲线的长度无限,但又在有限区域内。空间填充曲线不仅非常稠密,而且的确可以填满空间。当构造无限继续下去时,得到的曲线会经过实心正方形里的每个点。

有些保守的数学家嘲笑这些曲线有点“弱智”。希尔伯特是当年为数不多的有先见之明的数学家。他意识到,曲线能帮助数学变得更缜密,在阐明数学的逻辑基础方面也非常重要。所以,希尔伯特热情地支持认真对待这些怪异性质的人。

如今,数学家们会从更积极的角度来看待这些曲线:它们是一个崭新数学领域的早期雏形,而这一领域就是由曼德博在20世纪70年代开辟的分形几何。病态曲线诞生于纯数学,但曼德博意识到,类似的形状可以解释自然界中的不规则性。他指出,三角形、正方形、圆形、圆锥体、圆球体,以及其他欧氏几何里的传统形状都没有精细的结构。如果你放大一个圆形,它就像一条平淡无奇的直线。然而,自然界的许多形状在精细尺度下都有着错综复杂的结构。曼德博写道:

“云不是球体,山不是锥体,海岸线是不规则的圆形,树皮并不光滑,就连闪电也不是走直线的。”

当然,人人都知道这些,但曼德博理解它的重要性。

他并没有宣称欧几里得形状是无用的。这些形状在科学领域起着重要作用。例如,行星基本上算是球体,早期的天文学家们认为,这是一个很有用的近似。如果把球体压扁成椭球体,则会是更好的近似,不过它依然是一种简单的欧几里得形状。但在某些情况下,简单的形状就不那么有用了。树有许多越来越细的枝杈,云是柔软的团团,山体参差不齐,而海岸线则犬牙交错。想要从数学上理解这些形状,并解决关于它们的科学问题,需要一种新的方法。

让我们先来看看海岸线。曼德博注意到,不管比例尺的大小,海岸线在地图上看起来几乎相同。大比例尺的地图能展现出更多细节:海岸线有额外的曲折,但粗看起来,它和小比例尺的地图上画得颇为相像——海岸线的精确形状虽然变了,但“纹理”几乎一样。事实上,不管地图的比例尺有多大,海岸线的多数统计特征,如给定相对大小的海湾所占的比例,都是一样的。

曼德博引进了词语“分形”来描述那些不管怎样放大,总存在复杂结构的图形。如果小尺度下的结构和大尺度的相同,那么这种分形就是自相似的。如果只有统计特征相同,那么它们就是统计自相似的。最容易理解的就是那些自相似的分形。谢尔平斯基垫片就是一例。它由“三份自己”组成,同时每份的大小减半(图2)。

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图2: 谢尔平斯基垫片

雪花曲线是另一个例子。它可以由图3右侧所示的曲线复制三份后构成。这个构件(尽管不是完整的雪花)是精确自相似的。构造的各个阶段是将上一阶段的结果复制4份后拼在一起,并且每份的尺寸是原来的三分之一(图4)。

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图3: 构造雪花曲线的各个阶段

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图4: 曲线的每四分之一段,放大3倍后看起来和原先的一样。

这个形状太有规律了,不能代表真正的海岸线,但其曲折程度大致恰当。不规则曲线的构造方法与之类似,只是伴随着随机的变化,它们看起来更像真正的海岸线。

分形广泛存在于自然界中,准确地说,可以用分形来模型化的形状在自然界很普遍。现实世界中并不存在数学对象,数学对象都只是概念。有一种被称为宝塔西兰花的花椰菜是由很小的花球组成的,每个花球都与整棵花椰菜的形状相同(图5)。从矿物的精细结构到宇宙的物质分布,都有分形的影子。手机天线、在CD和DVD里存储大量数据,以及诊断癌细胞,也都用到了分形。新的分形应用领域层出不穷。

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图5:宝塔西兰花

分形的维度

分形到底有多曲折,或者说,它填充空间的效率怎样,都可以由分形维度来表示。为了理解这种维度,我们首先考虑一些简单的非分形形状。

如果把一段线段分成1/5大小的小线段,那么我们需要5段小线段才能重新构成原来的线段。假如对正方形做类似操作,我们需要25个小正方形,即52,而立方体则需要125个,即53(图6)。

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图6:在一维、二维、三维中,“立方体”在比例方面的不同效果。

5的指数与形状的维度相等:线段的指数是1,正方形的指数是2,立方体的指数是3。如果维度是d,那么就必须得有k份大小为1/n的形状才能拼出原先的形状,其中 k=nd。两边取对数后,得到d的公式

               d=lgk/lgn

让我们用这个公式来计算一下谢尔平斯基垫片。如果用较小的副本来构造垫片,我们需要 k=3 份垫片,每份大小为1/2。因此,n=2,于是我们得到公式

              d=lg3/lg2

d约等于1.5849。因此在这种情况下,谢尔平斯基垫片的维度不是一个整数。

当我们用传统方法来思考维度时,作为有效的独立方向数量,维度一定是一个整数。但在分形里,我们试着用维度来衡量分形有多么不规则、多么复杂,或用它来评估分形占用周遭空间的情况(而不是指向多少个独立方向)。谢尔平斯基垫片明显比线段稠密,但比实心正方形稀疏。因此,我们想要的值应该介于1(线段的维度)和2(正方形的维度)之间。尤其,这一维度不能是一个整数。

我们用同样的方法,也能计算出雪花曲线的分形维度。如前所述,因为雪花曲线是自相似的,所以我们更容易处理三分之一的雪花曲线,即三条一模一样的“边”之一。如果用较小的副本构造雪花曲线的一条边,我们需要 k=4 份副本,每份大小为1/3,因此n=3。于是得到公式

               d=lg4/lg3

d约等于1.2618。这个分形维度也不是整数,但同样讲得通。雪花显然比线段曲折,但它的空间填充情况不如实心正方形。我们需要的维度值还是应该介于1和2之间,因此1.2618很有道理。

维度是1.2618的曲线比维度是1的曲线(如一条直线)更曲折,但它不如维度是1.5849的曲线(如谢尔平斯基垫片)曲折。大多数实际的海岸线的分形维度约等于1.25——相较于谢尔平斯基垫片而言,它们更像雪花曲线。因此,分形的维度和我们对“哪种分形能更好地填充空间”的直觉是一致的。它也为实验主义者提供了一种定量方法,来检验基于分形的理论。例如,烟灰的分形维度大约是1.8,因此,尽管烟灰堆积物的分形样式有很多,但可以通过观测它们是否符合这个数来检验。

当分形不是自相似时,还有许多不同的方法可以定义分形的维度。比如,数学家们用“豪斯多夫–贝西科维奇维度”,这是一种相当复杂的定义。物理学家们常用“盒维度”,其定义相对简单。在很多情况下,这两种维度的部分记法是一样的。前面提到的分形是曲线,但分形也可以是面、体或更高维的形状。在这种情况下,分形的维度用于衡量分形有多么“粗糙”,或评估填充空间的效率。

上面两个分形的维度都是无理数。我们假设 lg3/lg2=p/q,且其中p和q是整数,那么qlg3=plg2,于是lg3q = lg2p,因此有 3q = 2p。但这一结果与质数分解的唯一性矛盾了。lg4/lg3也可以用类似的方法证明。像这样的基本事实,居然出现在如此意想不到的地方,不是很有趣吗?

曼德博集

在所有分形里,最著名的也许要算是曼德博集了。它描绘了如果对一个复数平方,再加上一个常数,并反复地运算后,会发生什么。也就是说,选取一个复常数c,然后计算c2+c,接着计算(c2+c)2+c,再计算((c2+c)2+c)2+c,以此类推。当然,还有一些别的方法可以定义该集合,但这是最简单的一种。

从几何上说,复数在一个平面上,它扩展了常规的实数轴。对上面提到的数列里的所有复数而言,最多有两种可能:要么所有复数都留在某个有限的复平面区域内,要么不是这样。接下来,将数列留在某个复平面区域内的c染上黑色,而把数列发散到无穷的c染上白色。于是,所有黑点构成的集合就是曼德博集(图7)。

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图7: 曼德博集

曼德博集的边界,即那些与黑点和白点都任意接近的边缘上的点,也是一种分形。它的分形维度大约是2,因此它“几乎可填”。

为了看清更多细节,我们可以根据数列发散到无穷的速度,为白点重新着色。于是,我们得到了一个非常复杂的图形,它充满了花饰、螺线和其他形状。如果放大图片,就会出现越来越多的细节。观察下边,你甚至可以发现一个完整的曼德博子集(图8)。

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图8: 曼德博子集

像这样的曼德博集看起来不会有什么重要的应用,但它是基于复数的最简单的非线性动力系统之一,因此,它引起了许多数学家的注意,他们想从中寻找具有更广泛适用性的一般性原则。曼德博集还证明了一个重要的“哲学”观点:简单的规则会导致复杂的结果,也就是说,简单的原因会产生复杂的影响。

试着去理解一个非常复杂的系统,并期望它所遵循的规则也同样复杂,这是一件很诱人的事。然而,曼德博集证明了这种期望可能会落空。这个观点催生了整个“复杂性科学”领域,这一全新领域试图通过寻找更简单的规则,去处理由这些规则驱动着的显然很复杂的系统。

作者简介

伊恩·斯图尔特(Ian Stewart),数学家,英国皇家学会会员,曾获英国皇家学会的“法拉第奖章”。他著有多部优秀的畅销数学科普作品,如《改变世界的十七个方程》《数学万花筒》系列等。

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