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已知 n 为自然数,一元二次方程 3x^2-8nx+7x+42-5n+n^2=0 的两根为质数,求 n

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发表于 2020-1-15 08:25 | 显示全部楼层 |阅读模式
我用了韦达定理去分析,但是要怎样才能确这两个质数?
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  • · 好貼|主题: 160, 订阅: 0
发表于 2020-1-15 13:29 | 显示全部楼层
  已知 n 为自然数,一元二次方程 3x^2-8nx+7x+42-5n+n^2=0 的两根为质数,求 n 。

  方程 3x^2-8nx+7x+42-5n+n^2=0 也就是 x^2-(8n-7)x/3+14+(n-5)n/3=0 。

    因为方程两根都是整数,所以上式中 (8n-7)/3 和 (n-5)n/3 都应该是整数。

    也就是说,8n-7 和 (n-5)n 都应该是 3 的倍数。

    (n-5)n 要成为 3 的倍数,一种可能是,n 本身是 3 的倍数,但是,当 n 是 3 的

倍数时,8n-7 显然不会是 3 的倍数,所以,不可能是这种情况,只有 n-5 是 3 的倍数。

    设 n-5=3k ,即有 n=3k+5 ,这时 8n-7=8(3k+5)-7=24k+33 恰好是 3 的倍数。

    将 n=3k+5 代入 x^2-(8n-7)x/3+14+(n-5)n/3=0 ,化简后得到

             x^2-(8k+11)x+(3k^2+5k+14)=0 。

    当 k=1 时,方程为 x^2-19x+22=0 ,两根为 x=(19±√273)/2 。

    当 k=2 时,方程为 x^2-27x+36=0 ,两根为 x=(27±3√65)/2 。

    当 k=3 时,方程为 x^2-35x+56=0 ,两根为 x=(35±√1001)/2 。

    当 k=4 时,方程为 x^2-43x+82=0 ,两根为 x=2 和 x=41 。恰好是两个质数。

    所以本题的解答是 n=3k+5=3×4+5=17 。

点评

谢谢老师,原来我就是3的倍数那里堵住了~  发表于 2020-1-15 20:04
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发表于 2020-1-15 08:40 | 显示全部楼层
n=17 ,两根为 x=2 和 x=41 。
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