把张彧典先生的无环形链的第八构形转化成有环形链的构形后进行可4—着色

雷明85639720

把张彧典先生的无环形链的第八构形转化成有环形链的构形后进行可4—着色
雷  明
（二○二○年二月二日）
（这里发不上图，请去＜中国博士网＞中看）

张彧典先生的第八构形是一个不含经过构形围栏顶点的环形链的H—构形（如图1和图2），图中含有双环交叉的A—C链和A—D链（如图1中的加粗边），A—B链和C—D链都是直链（或树）（如图2），并且从一个B色顶点交换后，可新生成从另一个B色顶点到其对角顶点的连通链，不能连续的移去两个同色B。是一个地地道道的H—构形。


把A—B链中的一个顶点A（如图2中的加大顶点A），改成C后，图就成了含有经过构形围栏顶点4D和5C的C—D环形链的构形了（如图3），A—B链被分成了A—B环内、环外互不连通的两部分。但这个图已经不再是H—构形了，而是直接就转化成了K—构形。因为图中只有一条A—C连通链，A—D链并不连通（如图4中的加粗边）。再按坎泊的解决办法进行交换就可以了。着色完毕。
为什么可以这样做。我的证明是这样的：由于A—B链和C—D链都是直链或树，那么与A、B色顶点相邻的顶点只能是着C、D色的，而与C、D色顶点相邻的顶点也只能着A、B色的。这样，在无环形链的H—构形中就必然存在着象图2中的那个加大的顶点。

如果这个顶点是处在A—B链上的一个A点或B点，则把这个A或B的顶点改着成C—D链中的C或D，使得A—B链断开，再进行C—D链的交换。这样，断形的A—B链就成了两个互不连通的部分，接上的C—D链就成了环形的链。反之，也是有同样结果的。

雷  明
二○二○年二月二日于长安

注：此文已于二○二○年二月二日在《中国博士网》上发表过，网址是：

雷明85639720

老张朋友，这一情况是否还可以这样解释呢：
1、在任何一条链中一定可以找到不相邻的两个着有相同颜色的顶点，都与另一条链中的连续的三个顶点相邻，那么把这三个顶点中的中间顶点的颜色改成前一条链中与那两个不相邻的但颜色相同的顶点不同的颜色，则这前一条链就成了环形的，而后一条链就被分成了环内外互不连通的两部分。
2、如A—B链中有两个不相邻的顶点都着A色，都与C—D链中连续的三个顶点C、D、C相邻，那么把这里的D色顶点的颜色改成B色后，则A—B链中就出现了环，而C—D链则被分在A—B环的内外两侧而不连通。
3、但这是需要证明的，是否无环形链的H—构形中或者所有的H—构形中都存在着这样的顶点。
4、一条链中两个不相邻的着相同颜色的顶点间（包括这两个顶点在内）共有奇数个顶点，再加上在另一条链中改动了颜色的顶点，共计是偶数个顶点，这是环形链的顶点数的特征。这两个顶点以外的顶点可以不去管它有多少，这个环中的顶点都一定是偶数的。
5、如何证明这另一条链中那三个连续的顶点都与前条链中的那两个顶点两个相邻，还是有一定的困难，请朋友是否可以考虑如何证明。
6、证明的关链是要证明同一条链中连续的三个顶点都要与另一相反链中的不相邻的两个着有相同颜色的顶点相邻。

雷明85639720

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